Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:
4.1 - Ordem do Sistema:
Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.
4.2 - Zeros do Sistema:
Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.
4.3 - Parâmetros Chave:
- Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
- Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento
, a frequência natural não amortecida
, o tempo de pico (
), o tempo de subida (
), o tempo de assentamento (
) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
.
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Passo 1
O enunciado pede uma análise de resposta no tempo do sistema cuja função de transferência é
As tarefas solicitadas (organizadas como no enunciado) são:
- 4.1: identificar a ordem do sistema.
- 4.2: determinar os zeros do sistema (se houver).
- 4.3: obter parâmetros chave (dependendo da ordem: constantes de tempo/ganho para 1ª ordem;
para 2ª ordem — ou explicar quando não aplicável). - 4.4: marcar no plano
a localização de polos e zeros (listar coordenadas). - 4.5: classificar o amortecimento (subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido, sem amortecimento).
Informações fornecidas: a expressão analítica da função de transferência
mostrada acima. Nada mais foi dado; todo o resto será obtido a partir desta expressão.
Passo 2
Ordem do sistema (4.1).
- A ordem do sistema é o grau do polinômio do denominador de
. O denominador é , que é um polinômio de grau 3. - Logo o sistema é de terceira ordem.
Passo 3
Zeros do sistema (4.2).
- Os zeros são as raízes do numerador
. Portanto há um zero em . - Conclusão: existe um único zero em
(zero simples, no semiplano esquerdo).
Passo 4
Polos do sistema (pré-requisito para próximas etapas).
- Os polos são as raízes de
. Então há um polo em com multiplicidade 3 (três polos coincidentes em ).
Passo 5
Ganho estático (valor em regime permanente para entrada degrau unitário) e constante de tempo característica.
- O ganho estático (valor DC) de
é
- Como todos os polos têm parte real
, a constante de tempo (associação com um pólo real ) típica é
Observação didática: para sistemas com pólos reais dominantes,
. Aqui todos os polos têm a mesma parte real, então
é
.
Passo 6
Motivação para obter a resposta no tempo e método utilizado.
- Para extrair tempos como
e % é preciso a resposta ao degrau. - Vou calcular a resposta ao degrau unitário:
. - Vou fazer decomposição em frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace para obter
. Esse procedimento permite calcular exatamente máximos, tempos e percentuais.
Passo 7
Decomposição em frações parciais.
Procuramos escrever
Procuramos escrever
Multiplicando por
e igualando coeficientes obtemos um sistema. Avaliando em
já vem:
Das equações pela comparação de coeficientes (ou substituições sucessivas) obtém-se
Passo 8
Transformada inversa de Laplace → resposta ao degrau
.
- Usando as transformadas básicas:
- Assim a resposta ao degrau unitário é
- Simplificando o último termo (
):
Verificação de regime permanente:
(coincide com o ganho estático calculado).
Passo 9
Cálculo do pico, tempo de pico e sobressinal percentual (%UP).
- Para achar extremos derivamos
. Derivando a forma mostrada (usar regra do produto) obtém-se, após simplificação,
- Zeros de
: e . O zero em é o início; é um extremo interno. Testando o sinal, para e para : logo é tempo de pico. - Valor no pico: calcular
. -
. - Avaliando o polinômio:
. - Assim
.
-
- Sobressinal percentual relativo ao valor final
:
Observação didática: embora os polos sejam reais (sem oscilação intrínseca), a presença do zero em
altera a forma transitória e pode gerar um pequeno overshoot. Ou seja, zeros à esquerda podem introduzir comportamento não-monótono.
Passo 10
Tempo de subida
(definido aqui como intervalo entre 10% e 90% do valor final) — cálculo aproximado numérico.
- Valor final
. Então 10% e 90% correspondem a e . - Resolvendo numericamente
encontra-se o primeiro cruzamento em . - Resolvendo numericamente
encontra-se o primeiro cruzamento em . - Assim o tempo de subida approximado (10–90%) é
Observação metodológica: esses valores foram obtidos por avaliação direta da expressão analítica e busca numérica simples (testes em pontos e interpolação). Para provas, indicar o método e a precisão numérica é suficiente.
Passo 11
Tempo de assentamento
(critério de 2%).
- Critério: encontrar
tal que para todo . - Isto é equivalente a
. - Resolução numérica dessa desigualdade dá aproximadamente
Comentário: o valor padrão rápido
subestima
aqui devido ao overshoot transitório introduzido pelo zero e à natureza polinomial multiplicativa gerada por polos repetidos; por isso a verificação numérica da resposta exata é a abordagem correta.
Passo 12
Mapa de polos e zeros no plano
(4.4).
- Zero:
-
(um ponto no semiplano esquerdo).
-
- Polos:
-
com multiplicidade 3 — três polos coincidentes em .
-
- Descrição textual para marcar no plano
: colocar um “o” (zero) em ; colocar três “x” (polos) sobrepostos em . Todos no semiplano esquerdo (LHP), alinhados no eixo real.
Passo 13
Classificação do amortecimento (4.5).
- Todos os polos são reais e negativos (não há pares complexos conjugados). Sistemas sem polos complexos conjugados não apresentam oscilações sinusoidais sustentadas; comportam-se de forma monótona ou com possível não-monotonicidade causada por zeros.
- Portanto, pelo critério clássico: o sistema é sobreamortecido (overdamped) no sentido de que não há modos oscilatórios (não há conjugados complexos). Contudo, devido ao zero em
aparece pequeno overshoot transitório. - Resumo: sobreamortecido (sem modos oscilatórios), mas com pequeno sobressinal transitório introduzido pelo zero.
Passo 14
Resumo prático / interpretação física e dicas para prova (didática e incentivo).
- Ordem: 3 (terceira ordem) — não aplicar fórmulas padrão de segunda ordem para
e . - Mesmo com polos reais, zeros no semiplano esquerdo podem tornar a resposta não monotônica (ver %UP calculado).
- Procedimento eficiente em prova: identifique polos/zeros, calcule ganho DC, faça frações parciais e inversa de Laplace se precisar de tempos exatos; para estimativas rápidas use
e como referência, mas confirme com a resposta exata quando houver zeros ou polos repetidos. - Força aí — essa análise completa mostra que sistemas de ordem superior ainda podem ser tratados com ferramentas elementares (polos/zeros, frações parciais e definições de tempos). Dá pra fazer na prova!
Resposta
4.1 - Ordem: terceira ordem.
4.2 - Zeros: um zero em .
4.3 - Parâmetros chave:
4.2 - Zeros: um zero em
4.3 - Parâmetros chave:
- Ganho estático:
. - Constante de tempo característica:
(associação com pólo em ). - Resposta ao degrau (feita para extrair os tempos):
- Tempo de pico:
. - Sobressinal percentual:
. - Tempo de subida (10%–90%):
. - Tempo de assentamento (2%):
.
(Observação: parâmetros de segunda ordemnão se aplicam diretamente porque o sistema é de ordem 3 e não possui par de polos complexos conjugados.)
4.4 - Mapa polos/zeros (coordenadas):
- Zero:
. - Polos:
(multiplicidade 3).
4.5 - Classificação do amortecimento: sobreamortecido (sem polos oscilatórios), com pequeno sobressinal transitório causado pelo zero em
.