Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:

4.1 - Ordem do Sistema:

Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.

4.2 - Zeros do Sistema:

Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.

4.3 - Parâmetros Chave:

  • Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
  • Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento (\zeta), a frequência natural não amortecida \left(\omega_{\mathrm{n}}\right), o tempo de pico ( t_{\mathrm{p}} ), o tempo de subida ( t_{\mathrm{r}} ), o tempo de assentamento ( t_{\mathrm{s}} ) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
    4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
W_{6}(s)=\frac{s+5}{(s+10)^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede uma análise de resposta no tempo do sistema cuja função de transferência é
W_{6}(s)=\frac{s+5}{(s+10)^{3}}.
As tarefas solicitadas (organizadas como no enunciado) são:
  • 4.1: identificar a ordem do sistema.
  • 4.2: determinar os zeros do sistema (se houver).
  • 4.3: obter parâmetros chave (dependendo da ordem: constantes de tempo/ganho para 1ª ordem; \zeta,\omega_n,t_p,t_r,t_s,\%\text{UP} para 2ª ordem — ou explicar quando não aplicável).
  • 4.4: marcar no plano s a localização de polos e zeros (listar coordenadas).
  • 4.5: classificar o amortecimento (subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido, sem amortecimento).
Informações fornecidas: a expressão analítica da função de transferência W_{6}(s) mostrada acima. Nada mais foi dado; todo o resto será obtido a partir desta expressão.

Passo 2

Ordem do sistema (4.1).
  • A ordem do sistema é o grau do polinômio do denominador de W_{6}(s). O denominador é (s+10)^{3}, que é um polinômio de grau 3.
  • Logo o sistema é de terceira ordem.

Passo 3

Zeros do sistema (4.2).
  • Os zeros são as raízes do numerador s+5. Portanto há um zero em s=-5.
  • Conclusão: existe um único zero em s=-5 (zero simples, no semiplano esquerdo).

Passo 4

Polos do sistema (pré-requisito para próximas etapas).
  • Os polos são as raízes de (s+10)^{3}=0. Então há um polo em s=-10 com multiplicidade 3 (três polos coincidentes em s=-10).

Passo 5

Ganho estático (valor em regime permanente para entrada degrau unitário) e constante de tempo característica.
  • O ganho estático (valor DC) de W_{6}(s) é
K_{\mathrm{dc}}=\lim_{s\to0}W_{6}(s)=\frac{0+5}{(0+10)^{3}}=\frac{5}{1000}=0,005.
  • Como todos os polos têm parte real -10, a constante de tempo (associação com um pólo real -\sigma) típica é
\tau=\frac{1}{10}=0,1\\ \text{s}.
Observação didática: para sistemas com pólos reais dominantes, \tau=1/|\text{Re}(p_\text{dominante})|. Aqui todos os polos têm a mesma parte real, então \tau é 0,1\\ \text{s}.

Passo 6

Motivação para obter a resposta no tempo e método utilizado.
  • Para extrair tempos como t_p,t_r,t_s e % \text{UP} é preciso a resposta ao degrau.
  • Vou calcular a resposta ao degrau unitário: Y(s)=\dfrac{W_{6}(s)}{s}=\dfrac{s+5}{s(s+10)^{3}}.
  • Vou fazer decomposição em frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace para obter y(t). Esse procedimento permite calcular exatamente máximos, tempos e percentuais.

Passo 7

Decomposição em frações parciais.
Procuramos escrever
\frac{s+5}{s(s+10)^{3}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{(s+10)^{2}}+\frac{D}{(s+10)^{3}}.
Multiplicando por s(s+10)^{3} e igualando coeficientes obtemos um sistema. Avaliando em s=0 já vem:
1000A=5\quad\Rightarrow\quad A=0,005.
Das equações pela comparação de coeficientes (ou substituições sucessivas) obtém-se
A=0,005,\quad B=-0,005,\quad C=-0,05,\quad D=0,5.

Passo 8

Transformada inversa de Laplace → resposta ao degrau y(t).
  • Usando as transformadas básicas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+10)}\right\}=e^{-10t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+10)^{2}}\right\}=t e^{-10t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+10)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}e^{-10t}.
  • Assim a resposta ao degrau unitário é
y(t)=0,005 -0,005\,e^{-10t} -0,05\,t\,e^{-10t} +0,5\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-10t}.
  • Simplificando o último termo ( 0,5\cdot\frac{t^2}{2}=0,25t^2):
\boxed{\,y(t)=0,005 + e^{-10t}\bigl(-0,005 -0,05\,t +0,25\,t^{2}\bigr)\,}
Verificação de regime permanente: \lim_{t\to\infty}y(t)=0,005 (coincide com o ganho estático calculado).

Passo 9

Cálculo do pico, tempo de pico e sobressinal percentual (%UP).
  • Para achar extremos derivamos y(t). Derivando a forma mostrada (usar regra do produto) obtém-se, após simplificação,
y'(t)=e^{-10t}\,t\,(1-2{,}5\,t).
  • Zeros de y'(t): t=0 e t=\dfrac{1}{2{,}5}=0,4\\ \text{s}. O zero em t=0 é o início; t=0,4\\ \text{s} é um extremo interno. Testando o sinal, y'(t)>0 para 0<t<0,4 e y'(t)<0 para t>0,4: logo t=0,4\\ \text{s} é tempo de pico.
  • Valor no pico: calcular y(0,4).
    • e^{-10\cdot0,4}=e^{-4}\approx0,018315.
    • Avaliando o polinômio: -0,005 -0,05\cdot0,4 +0,25\cdot0,4^{2}=-0,005-0,02+0,04=0,015.
    • Assim y(0,4)=0,005 + 0,018315\cdot0,015\approx0,0052747.
  • Sobressinal percentual relativo ao valor final y(\infty)=0,005:
\%\text{UP}=\frac{y(t_{p})-y(\infty)}{y(\infty)}\times100\%\approx\frac{0,0052747-0,005}{0,005}\times100\%\approx5,495\%.
Observação didática: embora os polos sejam reais (sem oscilação intrínseca), a presença do zero em s=-5 altera a forma transitória e pode gerar um pequeno overshoot. Ou seja, zeros à esquerda podem introduzir comportamento não-monótono.

Passo 10

Tempo de subida t_{r} (definido aqui como intervalo entre 10% e 90% do valor final) — cálculo aproximado numérico.
  • Valor final y(\infty)=0,005. Então 10% e 90% correspondem a 0,0005 e 0,0045.
  • Resolvendo numericamente y(t)=0,0005 encontra-se o primeiro cruzamento em t_{10\%}\approx0,0364\\ \text{s}.
  • Resolvendo numericamente y(t)=0,0045 encontra-se o primeiro cruzamento em t_{90\%}\approx0,214\\ \text{s}.
  • Assim o tempo de subida approximado (10–90%) é
t_{r}=t_{90\%}-t_{10\%}\approx0,214-0,0364\approx0,1776\\ \text{s}\approx0,178\\ \text{s}.
Observação metodológica: esses valores foram obtidos por avaliação direta da expressão analítica e busca numérica simples (testes em pontos e interpolação). Para provas, indicar o método e a precisão numérica é suficiente.

Passo 11

Tempo de assentamento t_{s} (critério de 2%).
  • Critério: encontrar t tal que |y(t)-y(\infty)|\le 0,02\cdot y(\infty)=0,0001 para todo t\ge t_{s}.
  • Isto é equivalente a |e^{-10t}(-0,005-0,05t+0,25t^{2})|\le0,0001.
  • Resolução numérica dessa desigualdade dá aproximadamente
t_{s}\approx0,654\\ \text{s}\quad(\text{critério }2\%).é
Comentário: o valor padrão rápido \dfrac{4}{|\text{Re}(p_\text{dominante})|}=\dfrac{4}{10}=0,4\\ \text{s} subestima t_s aqui devido ao overshoot transitório introduzido pelo zero e à natureza polinomial multiplicativa gerada por polos repetidos; por isso a verificação numérica da resposta exata é a abordagem correta.

Passo 12

Mapa de polos e zeros no plano s (4.4).
  • Zero:
    • s=-5 (um ponto no semiplano esquerdo).
  • Polos:
    • s=-10 com multiplicidade 3 — três polos coincidentes em s=-10.
  • Descrição textual para marcar no plano s: colocar um “o” (zero) em (-5,0); colocar três “x” (polos) sobrepostos em (-10,0). Todos no semiplano esquerdo (LHP), alinhados no eixo real.

Passo 13

Classificação do amortecimento (4.5).
  • Todos os polos são reais e negativos (não há pares complexos conjugados). Sistemas sem polos complexos conjugados não apresentam oscilações sinusoidais sustentadas; comportam-se de forma monótona ou com possível não-monotonicidade causada por zeros.
  • Portanto, pelo critério clássico: o sistema é sobreamortecido (overdamped) no sentido de que não há modos oscilatórios (não há conjugados complexos). Contudo, devido ao zero em s=-5 aparece pequeno overshoot transitório.
  • Resumo: sobreamortecido (sem modos oscilatórios), mas com pequeno sobressinal transitório introduzido pelo zero.

Passo 14

Resumo prático / interpretação física e dicas para prova (didática e incentivo).
  • Ordem: 3 (terceira ordem) — não aplicar fórmulas padrão de segunda ordem para \zeta e \omega_n.
  • Mesmo com polos reais, zeros no semiplano esquerdo podem tornar a resposta não monotônica (ver %UP calculado).
  • Procedimento eficiente em prova: identifique polos/zeros, calcule ganho DC, faça frações parciais e inversa de Laplace se precisar de tempos exatos; para estimativas rápidas use 1/|\text{Re}(p)| e 4/|\text{Re}(p)| como referência, mas confirme com a resposta exata quando houver zeros ou polos repetidos.
  • Força aí — essa análise completa mostra que sistemas de ordem superior ainda podem ser tratados com ferramentas elementares (polos/zeros, frações parciais e definições de tempos). Dá pra fazer na prova!

Resposta

4.1 - Ordem: terceira ordem.
4.2 - Zeros: um zero em s=-5.
4.3 - Parâmetros chave:
  • Ganho estático: K_{\mathrm{dc}}=0,005.
  • Constante de tempo característica: \tau=0,1\\ \text{s} (associação com pólo em -10).
  • Resposta ao degrau (feita para extrair os tempos):
y(t)=0,005 + e^{-10t}\bigl(-0,005 -0,05\,t +0,25\,t^{2}\bigr).
  • Tempo de pico: t_{p}=0,4\\ \text{s}.
  • Sobressinal percentual: \%\text{UP}\approx5,495\%.
  • Tempo de subida (10%–90%): t_{r}\approx0,178\\ \text{s}.
  • Tempo de assentamento (2%): t_{s}\approx0,654\\ \text{s}.
    (Observação: parâmetros de segunda ordem \zeta,\omega_{n} não se aplicam diretamente porque o sistema é de ordem 3 e não possui par de polos complexos conjugados.)
4.4 - Mapa polos/zeros (coordenadas):
  • Zero: s=-5.
  • Polos: s=-10 (multiplicidade 3).
4.5 - Classificação do amortecimento: sobreamortecido (sem polos oscilatórios), com pequeno sobressinal transitório causado pelo zero em s=-5.

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