a) Mostre que y_{1}=e^{x} é solução da equação.
b) Mostre que y_{2}=c e^{x} \int x e^{-x} d x, c \in \mathbb{R}, é uma solução da equação dada e \left\{y_{1}, y_{2}\right\} são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y^{\prime\prime}-(x+1)\,y^{\prime}+y=0
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que \;y_{1}=e^{x}\; é solução da equação.
(b) Mostrar que \;y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx,\;c\in\mathbb{R}\; é solução da equação e que o conjunto \{y_{1},y_{2}\} é linearmente independente.
Informações relevantes fornecidas:
A equação é de segunda ordem linear com coeficientes que dependem de x.
Foi dada explicitamente uma função candidata \;y_{1}=e^{x}\; e uma família de funções \;y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx\; que devemos verificar.
Note que dividir por x só é válido para x\neq0; portanto o domínio da verificação será tipicamente x\neq0.
Portanto \;y_{1}=e^{x}\; satisfaz a equação diferencial em qualquer ponto onde a equação esteja definida (ou seja, para x\neq0 quando dividimos por x, e de fato a verificação direta não precisou dividir por x). Concluímos que \;y_{1}=e^{x} é solução.
Passo 3
Preparação para obter \;y_{2} e explicar o método (redução de ordem).
É comum, quando sabemos uma solução y_{1} de uma equação linear de segunda ordem, procurar a segunda solução por um método chamado redução de ordem. Para aplicar esse método é conveniente escrever a equação na forma padrão
y^{\prime\prime}+P(x)\,y^{\prime}+Q(x)\,y=0.
Dividindo a equação dada por x (assumindo x\neq0) obtemos
Agora explico de maneira didática o passo essencial da redução de ordem: procurar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Substituindo essa forma na equação e usando que y_{1} já é solução, reduzimos a ordem do problema para uma equação de primeira ordem em w=v^{\prime}. Vou desenvolver esse procedimento passo a passo no próximo passo.
Passo 4
Derivação do procedimento (redução de ordem) de forma explícita.
Substituindo y_{2},y_{2}^{\prime},y_{2}^{\prime\prime} na forma padrão
y^{\prime\prime}+P\,y^{\prime}+Q\,y=0
e usando que y_{1} satisfaz a equação (ou seja, y_{1}^{\prime\prime}+P y_{1}^{\prime}+Q y_{1}=0), os termos que envolvem v (sem derivadas) cancelam, sobrando uma equação para v^{\prime} e v^{\prime\prime}. Colocando w=v^{\prime} reduzimos para uma equação de primeira ordem em w que, após manipulação, leva à fórmula conhecida
onde as integrais são indefinidas (pode aparecer uma constante multiplicativa que corresponde ao c na sua expressão). Essa fórmula é a versão prática da redução de ordem: dadas P(x) e y_{1}, calcula-se o integrando \dfrac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}, integra-se e multiplica-se por y_{1}.
Vou agora aplicar essa fórmula ao nosso caso concreto.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso concreto e obtendo \;y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx.
Como estamos trabalhando em domínios x\neq0 podemos tomar x>0 ou x<0 separadamente; para definitude aqui tomamos a expressão formal e^{x}|x|. Agora a fórmula pede dividir por y_{1}^{2}. Como y_{1}=e^{x} temos y_{1}^{2}=e^{2x}. Assim o integrando fica
Em cada ramo de sinal de x isso é x e^{-x} (com um sinal global que pode ser absorvido na constante multiplicativa). Portanto, até uma constante multiplicativa, obtemos
y_{2}=y_{1}\int x e^{-x}\,dx = e^{x}\int x e^{-x}\,dx.
Inserindo uma constante c multiplicativa temos exatamente a família
y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx,\qquad c\in\mathbb{R}.
Isto mostra, pelo procedimento da redução de ordem, que essa família fornece segundas soluções. A constante c apenas escala a solução; para c=0 obtém-se a solução trivial y_{2}=0, que não serve para independência linear.
Passo 6
Verificação direta (substituição) de que y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx satisfaz a equação (confirmação explícita).
Para ser bem didático, faça a verificação direta com notação mais curta: defina
u(x)=\int x e^{-x}\,dx, \qquad y_{2}=c\,e^{x}u(x).
Portanto o lado esquerdo da equação é zero e y_{2} satisfaz a equação para todo x\neq0. Isso confirma que y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx é de fato uma solução.
Passo 7
Mostrando que \{y_{1},y_{2}\} são linearmente independentes.
Usando y_{1}=e^{x} e y_{2}=c e^{x}u com u^{\prime}=x e^{-x}, já calculamos y_{2}^{\prime}=c e^{x}(u+u^{\prime}). Então
W(y_{1},y_{2}) = e^{x}\cdot c e^{x}(u+u^{\prime}) - e^{x}\cdot c e^{x}u = c e^{2x} u^{\prime}.
Como u^{\prime}=x e^{-x} obtemos
W(y_{1},y_{2}) = c e^{2x}\cdot x e^{-x} = c x e^{x}.
Para c\neq0 e x\neq0 isso é diferente de zero, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes no intervalo considerado. (Observe que x=0 é ponto singular da equação original; a independência é verificada nos intervalos onde a equação está em forma padrão, por exemplo x>0 ou x<0.)
Concluímos que a família dada para y_{2} fornece uma segunda solução linearmente independente de y_{1}.]
Resposta
(a) \;y_{1}=e^{x} é solução da equação diferencial.
(b) \;y_{2}=c\,e^{x}\int x e^{-x}\,dx,\;c\in\mathbb{R}, é solução da equação, e \{y_{1},y_{2}\} são linearmente independentes (para c\neq0 e x\neq0).