Resolva a equação usando o princípio da superposição
y^{\prime \prime}+y=\cos (x)+8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y=\cos(x)+8x^{2}
usando o princípio da superposição. Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo é a soma de duas funções: \cos(x) e 8x^{2}.
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação.

Passo 2

Ideia do método (princípio da superposição): como a equação é linear, se y_{p1} é uma solução particular para o termo \cos(x) e y_{p2} é uma solução particular para o termo 8x^{2}, então
y_p = y_{p1}+y_{p2}
é uma solução particular para \cos(x)+8x^{2}. A solução geral é a soma da solução geral da homogênea com essa solução particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. A equação característica é
r^{2}+1=0,
cuja solução é r=\pm i. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}\cos(x)+C_{2}\sin(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Procurar uma solução particular para o termo polinomial 8x^{2}.
Método: como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular polinomial de grau 2:
y_{p2}(x)=ax^{2}+bx+c,
com constantes a,b,c a determinar. Calculamos:
y_{p2}''(x)=2a.
Logo
y_{p2}''+y_{p2}=(2a)+(ax^{2}+bx+c)=ax^{2}+bx+(2a+c).
Queremos que isso seja igual a 8x^{2}. Igualando coeficientes polinomiais:
  • Coeficiente de x^{2}: a=8.
  • Coeficiente de x: b=0.
  • Termo constante: 2a+c=0 então c=-2a=-16 (usando a=8).
    Portanto
y_{p2}(x)=8x^{2}-16.

Passo 5

Procurar uma solução particular para o termo \cos(x).
Observação importante (ressonância): \cos(x) é solução da homogênea, então uma tentativa simples A\cos(x)+B\sin(x) falharia (é solução da homogênea). Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando o termo for solução da homogênea multiplicamos por x. Assim tentamos
y_{p1}(x)=x\big(C\cos(x)+D\sin(x)\big),
com constantes C,D a determinar.

Passo 6

Calcular derivadas de y_{p1}. Primeiro escrevendo
y_{p1}(x)=C x\cos(x)+D x\sin(x).
Derivando:
y_{p1}'(x)=C\cos(x)-C x\sin(x)+D\sin(x)+D x\cos(x).
Agrupando:
y_{p1}'(x)=(C\cos x + D\sin x)+x(-C\sin x + D\cos x).
Derivando novamente:
y_{p1}''(x)=(-C\sin x + D\cos x)+(-C\sin x + D\cos x)+x(-C\cos x - D\sin x).
Ou seja
y_{p1}''(x)=2(-C\sin x + D\cos x)+x(-C\cos x - D\sin x).

Passo 7

Agora somamos y_{p1}''+y_{p1}:
y_{p1}''+y_{p1}=2(-C\sin x + D\cos x)+x(-C\cos x - D\sin x)+x(C\cos x + D\sin x).
Repare que os termos que têm fator x se cancelam:
x(-C\cos x - D\sin x)+x(C\cos x + D\sin x)=0.
Portanto sobra
y_{p1}''+y_{p1}=2(-C\sin x + D\cos x)=-2C\sin x + 2D\cos x.
Queremos que isso seja igual a \cos(x), isto é,
-2C\sin x + 2D\cos x = \cos x.
Igualando coeficientes de \sin x e \cos x:
-2C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0,
2D=1 \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{1}{2}.
Assim
y_{p1}(x)=x\big(0\cdot\cos x + \tfrac{1}{2}\sin x\big)=\tfrac{1}{2}x\sin x.

Passo 8

Construir a solução particular total usando superposição:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\tfrac{1}{2}x\sin x + 8x^{2}-16.

Passo 9

Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{1}{2}x\sin x + 8x^{2}-16,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{1}{2}x\sin x + 8x^{2}-16

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