Resolva a equação usando o princípio da superposição
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o princípio da superposição. Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea.
- O termo não homogêneo é a soma de duas funções:
e .
O que se pede: encontrar a solução geralda equação.
Passo 2
Ideia do método (princípio da superposição): como a equação é linear, se
é uma solução particular para o termo
e
é uma solução particular para o termo
, então
é uma solução particular para
. A solução geral é a soma da solução geral da homogênea com essa solução particular:
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. A equação característica é
cuja solução é
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Procurar uma solução particular para o termo polinomial
.
Método: como o lado direito é um polinômio de grau , tentamos uma solução particular polinomial de grau
:
Método: como o lado direito é um polinômio de grau
com constantes
a determinar. Calculamos:
Logo
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes polinomiais:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
então (usando ).
Portanto
Passo 5
Procurar uma solução particular para o termo
.
Observação importante (ressonância): é solução da homogênea, então uma tentativa simples
falharia (é solução da homogênea). Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando o termo for solução da homogênea multiplicamos por
. Assim tentamos
Observação importante (ressonância):
com constantes
a determinar.
Passo 6
Calcular derivadas de
. Primeiro escrevendo
Derivando:
Agrupando:
Derivando novamente:
Ou seja
Passo 7
Agora somamos
:
Repare que os termos que têm fator
se cancelam:
Portanto sobra
Queremos que isso seja igual a
, isto é,
Igualando coeficientes de
e
:
Assim
Passo 8
Construir a solução particular total usando superposição:
Passo 9
Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.