Considere um escoamento estuarino hipotético, dominado pela forcante de maré, cujas escalas características podem ser dadas pelas grandezas abaixo. Faca uma análise de ordem de grandeza, como visto em aula, e identifique quais seriam os termos dominantes nas componentes x, y e z da equação de Navier-Stokes dada acima.
L approx 10 km (comprimento de onda)
H approx 10 m (altura da coluna d’água)
U approx 1 m s^-1 (velocidade orbital)
T approx 13 horas (período)
f approx 10^-4 rad. s^-1 (parâmetro de Coriolis)
ge=10 m s^-2
AH=10^5 m^2 s^-1 (coeficiente de viscosidade turbulenta horizontal)
AV=10^-1 m^2 s^-1 (coeficiente de viscosidade turbulenta vertical)

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estuarino dominado por maré com escalas características
Lapprox10^4; m, Happrox10; m, Uapprox1;m/s, Tapprox13; happrox4,7times10^4; s,
fapprox10^-4;s^-1, gapprox10;m/s^2, AHapprox10^5;m^2/s, AVapprox10^-1;m^2/s
Queremos escalar cada termo da equação de Navier-Stokes nas componentes x, y e z. Os termos são:
  1. aceleração local partial u/partial tsim U/T,
  2. aceleração advectiva ucdotnabla usim U^2/L,
  3. força de Coriolis fU,
  4. gradiente de pressão horizontal sim g,H/L e vertical sim g,
  5. viscosidade turbulenta horizontal AH U/L^2,
  6. viscosidade turbulenta vertical AV U/H^2.

Passo 2

Calculemos as ordens de grandeza (em m/s^2) dos termos comuns:
UTsim14,7times10^4approx2times10^-5,
U^2Lsim1^210^4=1times10^-4,
f,Usim10^-4times1=1times10^-4,
g,HLsim10times1010^4=1times10^-2,
AHUL^2sim10^51(10^4)^2=1times10^-3,
AVUH^2sim10^-1110^2=1times10^-3

Passo 3

Comparamos agora na componente x:
underbracepartial upartial t2times10^-5ll underbraceupartialxu1times10^-4approx underbracef,v1times10^-4ll underbraceAHpartial^2xu1times10^-3ll underbraceg,partialetapartial x1times10^-2
Logo, na direção x o balanço dominante é
gradiente de pressão;sim;viscosidade turbu<=nta horizontal, ã
enquanto os termos inercial (advectivo e local) e de Coriolis são muito menores.

Passo 4

Na componente y (lateral) usamos a mesma largura característica L. Os termos escalam da mesma forma de x, isto é,
partialtvsim2times10^-5, vpartialyvsim1times10^-4, f,usim1times10^-4, AHpartial^2yvsim1times10^-3, g,partialyetasim1times10^-2
Portanto, também em y o balanço principal é
gradiente de pressão lateral;sim;viscosidade turbu<=nta horizontal ã

Passo 5

Para a componente vertical z, o gradiente de pressão hidrostático se escala como
1rhopartial ppartial zsim gsim10
Os demais termos são:
partial wpartial tsim2times10^-5, upartialxwsimU,WLsim10^-7, AVpartial^2zwsim10^-6,
todos muito menores que g. Assim, a componente z se reduz ao balanço hidrostático
1rhopartial ppartial zapprox -,g

Resposta

Com isso, os termos dominantes em cada componente são:
x: gradiente de pressão sim AH (viscosidade horizontal)
y: gradiente de pressão lateral sim AH
z: balanço hidrostático ( partialzpapprox -,rho g)

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