10-Considere um disco de cargas positivas de raio R no plano xy. As cargas neste disco estão distribuídas de modo que a densidade de carga vale
sigma(r^prime)=sigmaoraizR^2-r^prime 2
onde r^prime é o vetor posição de um ponto sobre o disco em relação à origem. Esta densidade de cargas faz com que o potencial no disco z=0 seja uma constante Vo. Mostre que o potencial
sobre o eixo de simetria no ponto (0,0, z) é dado por para z>R pela expressão
Phi(z)=2 Vopi arctan (R / z)

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico Phi(z) ao longo do eixo de um disco de raio R situado em z=0, cuja densidade superficial de carga é
sigma(r')=sigma0raizR^2-r^prime2
e tal que o disco mantém potencial constante V0. Vamos usar a expressão de Coulomb para potencial de uma distribuição superficial e impor a condição de contorno Phi(0)=V0.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o potencial no ponto (0,0,z) é
Phi(z) =14piepsilon0 integral0^2pi!!integral0^R sigma(r'),r',dr',dphiraizr'^2+z^2

Passo 3

Substituindo sigma(r') e integrando em phi, obtemos
Phi(z) =14piepsilon0;2pi;sigma0 integral0^R r',dr'raizR^2-r'^2,raizr'^2+z^2 =sigma02epsilon0 integral0^R r',dr'raizR^2-r'^2,raizr'^2+z^2

Passo 4

Para avaliar
I=integral0^R r',dr'raizR^2-r'^2,raizr'^2+z^2,
fazemos r'=Rsintheta, de modo que dr'=Rcostheta,dtheta e
I =Rintegral0^pi/2 sintheta,dthetaraizR^2sin^2theta+z^2 =l[,-arcsin!l(tfracRcosthetaraizz^2+R^2r)r]0^pi/2 =arcsin!l(tfracRraizz^2+R^2r)
Como arcsin!l(tfracRraizz^2+R^2r)=arctan!l(tfracRzr), segue
I=arctan!l(tfracRzr)

Passo 5

Logo
Phi(z) =sigma02epsilon0;arctan!l(tfracRzr)

Passo 6

Impondo Phi(0)=V0 e usando limzto0arctan(R/z)=pi/2, temos
V0 =sigma02epsilon0;pi2 Longrightarrow sigma02epsilon0=2V0pi

Passo 7

Substituindo em Phi(z), finalmente
Phi(z) =2V0pi,arctan!l(tfracRzr),
válido para z>R.

Resposta

Phi(z)=2V0pi,arctan!l(tfracRzr)

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