Considere um escoamento de um fluido newtoniano e incompressível em regime laminar completamente desenvolvido, dentro de um duto cilíndrico de comprimento L=5 m e diâmetro interno \mathbf{D}=\mathbf{0 , 1 ~} \mathbf{m}. A velocidade média do fluido ao longo do eixo do duto é \mathbf{U}, sua densidade \boldsymbol{\rho}=998 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} e sua viscosidade é \mu=0,001 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}.s. Desprezam-se os efeitos gravitacionais e assume-se condição de não-deslizamento na parede do duto. Apresente as hipóteses e simplifique as equações governantes do problema e:
I) [2,0 PONTOS] Determine a expressão do perfil de velocidade.
II) [1,0 PONTO] Determine o máximo gradiente de pressão que pode ser aplicado para que o escoamento seja em regime laminar.
III) 1,0 PONTO] Apresente as equações para a vazão mássica w e seu respectivo valor.
IV) 1,0 PONTO] Apresente a expressão para a tensão de cisalhamento na parede do duto e seu respectivo valor.
V) 1,0 PONTO EXTRA ] A partir da definição do fator de atrito de Darcy-Weisbach, f=\frac{-\frac{d p}{d z} * D}{\frac{1}{2} \rho U^{2}}
Demonstre que f=\frac{64}{R e} para escoamento em regime laminar no interior de duto circular
Dado: R e=\frac{\rho U D}{\mu}

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de um fluido newtoniano, incompressível, em regime laminar, permanente e completamente desenvolvido num duto cilíndrico de raio R=D/2. Como o escoamento é axisimétrico e não há variação ao longo do eixo (permanente e plenamente desenvolvido), a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas reduz-se apenas ao balanço entre gradiente de pressão e viscosidade radial:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{du}{dr}\Bigr)\;=\;-\frac{1}{\mu}\,\frac{dp}{dz}
com a condição de não deslizamento na parede u(R)=0 e simetria no centro \bigl.\tfrac{du}{dr}\bigr|_{r=0}=0. A partir daí podemos obter o perfil de velocidade, as relações entre \tfrac{dp}{dz} e a velocidade média U, além de vazão, tensão de cisalhamento e fator de atrito.

Passo 2

Integramos duas vezes
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{du}{dr}\Bigr)=-\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}
para obter
u(r)=-\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dz}\,(R^2-r^2)\,+C
A condição de simetria no centro força C=0 e a condição u(R)=0 está satisfeita. Logo o perfil de velocidade é
u(r)=-\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dz}\,\bigl(R^2-r^2\bigr).
Como a velocidade média é
U=\frac{1}{\pi R^2}\int_{0}^{R}2\pi r\,u(r)\,dr =-\frac{dp}{dz}\,\frac{R^2}{8\mu},
podemos escrever também
u(r)=2\,U\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr) \quad\text{e}\quad \frac{dp}{dz}=-\frac{8\mu\,U}{R^2}=-\frac{32\,\mu\,U}{D^2}.

Passo 3

Para manter o escoamento laminar exige-se Re=\frac{\rho U D}{\mu}\le2300. Daí
U_{\max}=\frac{2300\,\mu}{\rho\,D} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-\frac{dp}{dz}\Bigr)_{\max} =\frac{32\,\mu\,U_{\max}}{D^2} =\frac{32\cdot2300\,\mu^2}{\rho\,D^3}.
Substituindo \mu=10^{-3}\,\mathrm{kg/(m\cdot s)}, \rho=998\,\mathrm{kg/m^3}, D=0,1\,\mathrm{m}, resulta
\Bigl(-\frac{dp}{dz}\Bigr)_{\max}\approx0,0737\;\mathrm{Pa/m}.

Passo 4

A vazão volumétrica é
Q=\int_0^R2\pi r\,u(r)\,dr =-\frac{\pi D^4}{128\,\mu}\,\frac{dp}{dz} \quad\Longrightarrow\quad Q=\frac{\pi D^2}{4}\,U.
Logo a vazão mássica é
w=\rho\,Q =\rho\,\frac{\pi D^2}{4}\,U \quad\text{ou, em função de }\frac{dp}{dz},\; w=-\rho\,\frac{\pi D^4}{128\,\mu}\,\frac{dp}{dz}.çã
Usando \bigl(-\tfrac{dp}{dz}\bigr)_{\max}=0,0737 obtém-se numericamente
Q_{\max}\approx1{,}81\times10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}, \quad w_{\max}\approx0,181\,\mathrm{kg/s}.

Passo 5

A tensão de cisalhamento na parede é
\tau_w=\mu\Bigl.\frac{du}{dr}\Bigr|_{r=R} =-\frac{R}{2}\,\frac{dp}{dz} =\frac{D}{4}\Bigl(-\frac{dp}{dz}\Bigr).
Substituindo \bigl(-\tfrac{dp}{dz}\bigr)_{\max}=0,0737 e D=0,1 m dá
\tau_w\approx0,00184\;\mathrm{Pa}.

Passo 6

Pela definição de fator de atrito de Darcy–Weisbach
f=\frac{-\frac{dp}{dz}\,D}{\tfrac12\,\rho\,U^2},
e usando -\tfrac{dp}{dz}=32\mu U/D^2, vem
f =\frac{\bigl(32\,\mu\,U/D^2\bigr)\,D}{\tfrac12\,\rho\,U^2} =\frac{64\,\mu}{\rho\,U\,D} =\frac{64}{Re}.

Resposta

I) u(r)=-\tfrac{1}{4\mu}\,\tfrac{dp}{dz}(R^2-r^2), ou u(r)=2U(1-r^2/R^2).
II) \bigl(-\tfrac{dp}{dz}\bigr)_{\max}=(32\cdot2300\,\mu^2)/(\rho\,D^3)\approx0,0737,Pa/m.
III) w=\rho\,\pi D^2U/4, numericamente w_{\max}\approx0,181,kg/s.
IV) \tau_w=(D/4)(-dp/dz), numericamente \tau_w\approx0,00184,Pa.
V) Demonstração: f=(-dp/dz)\,D/(\tfrac12\rho U^2) com -dp/dz=32\mu U/D^2 \Longrightarrow f=64/Re.

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