Considere um escoamento de um fluido newtoniano e incompressível em regime laminar completamente desenvolvido, dentro de um duto cilíndrico de comprimento L=5 m e diâmetro interno \mathbf{D}=\mathbf{0 , 1 ~} \mathbf{m}. A velocidade média do fluido ao longo do eixo do duto é \mathbf{U}, sua densidade \boldsymbol{\rho}=998\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} e sua viscosidade é \mu=0,001 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}.s. Desprezam-se os efeitos gravitacionais e assume-se condição de não-deslizamento na parede do duto. Apresente as hipóteses e simplifique as equações governantes do problema e:
I) [2,0 PONTOS] Determine a expressão do perfil de velocidade.
II) [1,0 PONTO] Determine o máximo gradiente de pressão que pode ser aplicado para que o escoamento seja em regime laminar.
III) 1,0 PONTO] Apresente as equações para a vazão mássica w e seu respectivo valor.
IV) 1,0 PONTO] Apresente a expressão para a tensão de cisalhamento na parede do duto e seu respectivo valor.
V) 1,0 PONTO EXTRA ] A partir da definição do fator de atrito de Darcy-Weisbach, f=\frac{-\frac{d p}{d z} * D}{\frac{1}{2} \rho U^{2}}
Demonstre que f=\frac{64}{R e} para escoamento em regime laminar no interior de duto circular
Dado: R e=\frac{\rho U D}{\mu}
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento de um fluido newtoniano, incompressível, em regime laminar, permanente e completamente desenvolvido num duto cilíndrico de raio R=D/2. Como o escoamento é axisimétrico e não há variação ao longo do eixo (permanente e plenamente desenvolvido), a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas reduz-se apenas ao balanço entre gradiente de pressão e viscosidade radial:
com a condição de não deslizamento na parede u(R)=0 e simetria no centro \bigl.\tfrac{du}{dr}\bigr|_{r=0}=0. A partir daí podemos obter o perfil de velocidade, as relações entre \tfrac{dp}{dz} e a velocidade média U, além de vazão, tensão de cisalhamento e fator de atrito.