Determine a derivada f^{\prime}(z) da função racional e identifique o ponto em que a função não é analítica:
f(z)=\frac{e^{2 z}}{z-i}

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(z)=\frac{e^{2z}}{z-i}
e pede duas coisas:
  • Determinar a derivada f^{\prime}(z).
  • Identificar o ponto em que a função não é analítica.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é e^{2z}.
  • O denominador é z-i.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar quais operações de diferenciação podemos usar com funções complexas: as regras do cálculo (regra do produto, regra da cadeia, regra do quociente) valem da mesma forma para funções de variável complexa. Ou seja, se u(z) e v(z) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'
e, para a função composta e^{2z}, a regra da cadeia dá sua derivada.
Primeiro identifique duas partes óbvias para aplicar a regra do produto:
u(z)=e^{2z},\qquad v(z)=(z-i)^{-1}.

Passo 3

Calcular u'(z) e v'(z) separadamente.
Derivada de u(z)=e^{2z}:
  • A regra da cadeia: se g(z)=2z então (e^{g(z)})' = g'(z)e^{g(z)}.
  • Aqui g'(z)=2, portanto
u'(z)=2e^{2z}.
Derivada de v(z)=(z-i)^{-1}:
  • Usar a regra de potência para expoente -1: (z-i)^{-1}' = -1\cdot (z-i)^{-2}\cdot (z-i)'.
  • Como (z-i)'=1, obtemos
v'(z)=- (z-i)^{-2} = -\frac{1}{(z-i)^2}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto f'=u'v+uv':
f'(z)=\bigl(2e^{2z}\bigr)\cdot\frac{1}{z-i} + e^{2z}\cdot\biggl(-\frac{1}{(z-i)^2}\biggr).
Colocar em forma mais compacta fatorando e^{2z}:
f'(z)=e^{2z}\left(\frac{2}{z-i}-\frac{1}{(z-i)^2}\right).

Passo 5

Simplificar o parêntese para um único quociente. Colocar sobre denominador comum (z-i)^2:
\frac{2}{z-i}-\frac{1}{(z-i)^2}=\frac{2(z-i)-1}{(z-i)^2}.
Expandindo o numerador:
2(z-i)-1 = 2z-2i-1.
Portanto uma forma final e bem explícita da derivada é
f'(z)=\frac{e^{2z}\bigl(2z-2i-1\bigr)}{(z-i)^2}.

Passo 6

Agora identifique onde a função não é analítica. Uma função complexa dada por um quociente de funções holomorfas é holomorfa onde o denominador não zera. Aqui:
  • e^{2z} é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}).
  • O ponto onde o denominador anula é z=i.
Logo f não é analítica em z=i. Observação extra útil para a prova: z=i é um polo simples de f (ordem 1), e na derivada f' esse polo aparece como polo de ordem 2 (por isso o denominador (z-i)^2).

Resposta

f'(z)=\frac{e^{2z}\bigl(2z-2i-1\bigr)}{(z-i)^2}
Ponto onde f não é analítica: z=i

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