Determine a derivada
da função racional e identifique o ponto em que a função não é analítica:
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede duas coisas:
- Determinar a derivada
. - Identificar o ponto em que a função não é analítica.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar quais operações de diferenciação podemos usar com funções complexas: as regras do cálculo (regra do produto, regra da cadeia, regra do quociente) valem da mesma forma para funções de variável complexa. Ou seja, se
e
são diferenciáveis, então
e, para a função composta
, a regra da cadeia dá sua derivada.
Primeiro identifique duas partes óbvias para aplicar a regra do produto:
Passo 3
Calcular
e
separadamente.
Derivada de
:
- A regra da cadeia: se
então . - Aqui
, portanto
Derivada de
:
- Usar a regra de potência para expoente
: . - Como
, obtemos
Passo 4
Aplicar a regra do produto
:
Colocar em forma mais compacta fatorando
:
Passo 5
Simplificar o parêntese para um único quociente. Colocar sobre denominador comum
:
Expandindo o numerador:
Portanto uma forma final e bem explícita da derivada é
Passo 6
Agora identifique onde a função não é analítica. Uma função complexa dada por um quociente de funções holomorfas é holomorfa onde o denominador não zera. Aqui:
-
é inteira (holomorfa em todo ). - O ponto onde o denominador anula é
.
Logo
não é analítica em
. Observação extra útil para a prova:
é um polo simples de
(ordem
), e na derivada
esse polo aparece como polo de ordem
(por isso o denominador
).
Resposta
Ponto onde
não é analítica: