Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não-uniforme dada por
, em que R representa o raio da esfera, r , a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e
, uma constante qualquer. Calcule:
O campo elétrico dentro da esfera (
)
O campo elétrico dentro da esfera (
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de eletrostática! A gente tem uma esfera isolante com uma distribuição de carga que não é uniforme, ou seja, a densidade de carga varia com a distância do centro. A fórmula dada é
, onde
é o raio da esfera,
é a distância do ponto ao centro, e
é uma constante. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico dentro da esfera para
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e entender como a carga está distribuída dentro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Matematicamente, fica assim:
Como estamos lidando com simetria esférica, podemos simplificar o cálculo do fluxo elétrico.
Passo 3
Vamos calcular a carga interna
até um raio
dentro da esfera. A densidade de carga é
, então a carga em um pequeno elemento de volume é
. Em coordenadas esféricas,
. Então, a carga interna é a integral de
de 0 até
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através de uma esfera de raio
é
(já que o campo elétrico
é constante na superfície). Igualando ao
:
Passo 6
Isolando o campo elétrico
:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera para
é dado por: