Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não-uniforme dada por rho=C r / R, em que R representa o raio da esfera, r , a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e C, uma constante qualquer. Calcule:
O campo elétrico dentro da esfera ( r )

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de eletrostática! A gente tem uma esfera isolante com uma distribuição de carga que não é uniforme, ou seja, a densidade de carga varia com a distância do centro. A fórmula dada é rho = C rR, onde R é o raio da esfera, r é a distância do ponto ao centro, e C é uma constante. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico dentro da esfera para r < R. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e entender como a carga está distribuída dentro da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0). Matematicamente, fica assim:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como estamos lidando com simetria esférica, podemos simplificar o cálculo do fluxo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular a carga interna Qinterno até um raio r dentro da esfera. A densidade de carga é rho = C rR, então a carga em um pequeno elemento de volume é rho , dV. Em coordenadas esféricas, dV = 4pi r^2 dr. Então, a carga interna é a integral de rho , dV de 0 até r:
Qinterno = integral0^r C r'R cdot 4pi r'^2 dr'

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Qinterno = 4pi CR integral0^r r'^3 dr' = 4pi CR [ r'^44 ]0^r = 4pi CR cdot r^44 = pi C r^4R

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através de uma esfera de raio r é E cdot 4pi r^2 (já que o campo elétrico E é constante na superfície). Igualando ao Qinterno / varepsilon0:
E cdot 4pi r^2 = pi C r^4R varepsilon0

Passo 6

Isolando o campo elétrico E:
E = pi C r^4R varepsilon0 cdot 4pi r^2 = C r^24 R varepsilon0

Resposta

O campo elétrico dentro da esfera para r < R é dado por:
E = C r^24 R varepsilon0

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