Considere uma esfera oca cujo raio interno é \mathrm{r}_{1}=3 \mathrm{~cm} e raio externo \mathrm{r}_{2}=5 \mathrm{~cm} e \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{* \circ} \mathrm{C}. A superfície interna da esfera recebe um fluxo q=1130 \mathrm{~W}. Na superfície externa calor se dissipa por convecção ( h_{c}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 *}{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Considere o ambiente externo a uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. Obtenha expressões para encontrar as temperaturas das superfícies interna e externa da esfera e forneça os valores das mesmas ( T_{1} e T_{2}, respectivamente).

Passo 1

O enunciado dá uma esfera oca com raio interno \mathrm{r}_1=3\,\mathrm{cm} e externo \mathrm{r}_2=5\,\mathrm{cm}, condutividade térmica k=15\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}). Na superfície interna entra potência q=1130\,\mathrm{W} e na externa há convecção com coeficiente h_c=400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}) para o ambiente a T_\infty=100^\circ\mathrm{C}. Queremos as temperaturas da face interna T_1 e externa T_2. Vamos modelar como circuito de resistências térmicas em série: uma de condução esférica e outra de convecção.

Passo 2

A resistência de condução através de uma casca esférica de raios r_1 e r_2 é
R_{\mathrm{cond}} =\frac{1}{4\pi k}\,\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr).
Convertendo para metros: \mathrm{r}_1=0,03\,\mathrm{m}, \mathrm{r}_2=0,05\,\mathrm{m}.

Passo 3

A resistência de convecção na superfície externa de área A_2=4\pi r_2^2 é
R_{\mathrm{conv}} =\frac{1}{h_c\,A_2} =\frac{1}{h_c\,(4\pi r_2^2)}.

Passo 4

Como o fluxo q é o mesmo nas duas resistências, temos
T_2 - T_\infty = q\,R_{\mathrm{conv}}, \qquad T_1 - T_\infty = q\,(R_{\mathrm{conv}} + R_{\mathrm{cond}}).
Logo as expressões procuradas são
T_2 = T_\infty + q\,R_{\mathrm{conv}}, \qquad T_1 = T_\infty + q\,(R_{\mathrm{conv}} + R_{\mathrm{cond}}).

Passo 5

Calculando numericamente:
R_{\mathrm{cond}} =\frac{1}{4\pi\cdot15}\Bigl(\frac{1}{0,03}-\frac{1}{0,05}\Bigr) \approx0,0707\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv}} =\frac{1}{400\cdot4\pi\,(0,05)^2} \approx0,0796\;\mathrm{K/W}.
Então
T_2 = 100 + 1130\times0,0796 \approx 190^\circ\mathrm{C},
T_1 = 100 + 1130\,(0,0796+0,0707) \approx 270^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_2 = T_\infty + q\,\frac{1}{h_c\,4\pi r_2^2}, \quad T_1 = T_\infty + q\Bigl(\frac{1}{h_c\,4\pi r_2^2} + \frac{1}{4\pi k}\bigl(\tfrac{1}{r_1}-\tfrac{1}{r_2}\bigr)\Bigr),
com valores aproximados
T_2 \approx 190^\circ\mathrm{C}, \quad T_1 \approx 270^\circ\mathrm{C}.

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