Uma tubulação cilíndrica de raio interno r_{1}=3 \mathrm{~cm} e raio externo r_{2}=5 \mathrm{~cm} e \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{*}{ }^{\circ} \mathrm{C} recebe em sua superfície interna um fluxo térmico q=94.250 \mathrm{~W}. Energia térmica é dissipada pela superfície externa ( h_{c}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 *}{ }^{\circ} \mathrm{C} ). O ambiente externo encontra-se a uma temperatura \mathrm{T}_{\infty}= 100^{\circ} \mathrm{C}. Obtenha expressões para encontrar as temperaturas das superfícies interna e externa da esfera e forneça os valores das mesmas ( T_{1} e T_{2}, respectivamente).

Passo 1

O enunciado descreve um tubo cilíndrico de raio interno r_{1}=0{,}03\\ \mathrm{m} e raio externo r_{2}=0{,}05\\ \mathrm{m}, com condutividade térmica k=15\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}. Na superfície interna é absorvida uma potência térmica Q=94\,250\\ \mathrm{W} (por comprimento L=1\\ \mathrm{m}), e a superfície externa dissipa calor por convecção com coeficiente h_{c}=400\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)} para um ambiente à temperatura T_{\infty}=100\\ ^\circ\mathrm{C}. Queremos encontrar a temperatura da face interna T_{1} e da face externa T_{2}.

Passo 2

Modelamos o sistema como uma resistência térmica em série: resistência por condução radial no cilindro maciço e resistência por convecção na face externa. A queda total de temperatura entre a face interna e o ambiente é
T_{1}-T_{\infty} =\;Q\,(R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv}})
e a temperatura da face externa satisfaz
T_{2}-T_{\infty}=Q\,R_{\mathrm{conv}}.

Passo 3

As resistências térmicas por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m} são
R_{\mathrm{cond}} =\frac{\ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}{2\pi k L}, \qquad R_{\mathrm{conv}} =\frac{1}{h_{c}\,2\pi r_{2}L}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
r_{1}=0{,}03,\quad r_{2}=0{,}05,\quad k=15,\quad h_{c}=400,\quad L=1,
R_{\mathrm{cond}} =\frac{\ln(0{,}05/0{,}03)}{2\pi\cdot15\cdot1} =\frac{\ln(1{,}6667)}{94{,}2478} \approx0{,}00542\\ ^\circ\mathrm{C/W},
R_{\mathrm{conv}} =\frac{1}{400\cdot2\pi\cdot0{,}05\cdot1} =\frac{1}{125{,}664} \approx0{,}00796\\ ^\circ\mathrm{C/W}.

Passo 5

Calculamos então as diferenças de temperatura:
T_{2}-T_{\infty} =Q\,R_{\mathrm{conv}} =94\,250\times0{,}00796 \approx749{,}9\\ ^\circ\mathrm{C},
T_{1}-T_{\infty} =Q\,(R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv}}) =94\,250\times(0{,}00542+0{,}00796) \approx1\,260{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{1}=T_{\infty}+1\,260{,}9=100+1\,260{,}9\approx1\,360{,}9\\ ^\circ\mathrm{C} T_{2}=T_{\infty}+749{,}9=100+749{,}9\approx849{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}

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