Considere uma esfera de raio R e centro O apoiada no ponto P em uma superfície plana infinita. Um ponto de luz está a uma altura H em relação a superfície ( H>2 R ) e a uma distância d da reta OP. Calcule a área iluminada na esfera e a área da sua sombra na superfície.

Passo 1

Vamos colocar o problema num sistema de coordenadas cartesianas de forma a aproveitar simetria e usar geometria analítica.
• Seja o plano z=0 a superfície onde a esfera repousa.
• O ponto de contato da esfera com o plano é P=(0,0,0).
• O centro da esfera de raio R é
O=(0,0,R).
• A fonte luminosa pontual L está a uma altura H sobre o plano e afastada horizontalmente da reta OP uma distância d. Podemos então tomar
L=(d,0,H),\qquad H>2R.
Queremos (i) a área da região da superfície da esfera diretamente iluminada por L, e (ii) a área do “sombra” projetada no plano z=0.

Passo 2

Para achar a região iluminada na esfera usamos a condição de que um ponto S da esfera vê L a céu aberto. Seja
S=(x,y,z),\quad (x^2+y^2+(z-R)^2=R^2),
e n=(S-O)/R o normal unitário da esfera em S. A condição de iluminação é
(S-L)\cdot n\;>\;0.
O lugar geométrico de igualdade (S-L)\cdot n=0 é um plano que corta a esfera numa circunferência, definindo duas “metades” da esfera. A região que contém L é a iluminada.

Passo 3

Determinação explícita do plano de separação “iluminação vs. sombra” na esfera.
Calculemos
(S-L)\cdot(S-O)=0
para obter a equação do plano em (x,y,z). Fazendo as contas uma encontra
d\,x+(H-R)\,z \;=\;H\,R.
Esse plano corta a esfera, e a parte que contém L é a região iluminada.

Passo 4

Cálculo da área iluminada:
Para uma esfera de raio R, um plano a uma distância \delta do centro corta-a num “cálice” (spherical cap) cuja área é
A_{\rm cap} \;=\;2\pi R\,(R - \delta_{\rm signed}),
onde \delta_{\rm signed} é a distância orientada do centro O ao plano, contada na direção do normal que aponta para a região iluminada.
  1. Distância orientada do centro O=(0,0,R) ao plano
d\,x+(H-R)\,z=H\,R
é
\delta_{\rm signed} =\frac{d\cdot0+(H-R)\,R - H\,R}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}} =-\frac{R^2}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}}\;.
  1. O “cálice” iluminado corresponde ao lado que contém L, e a altura (positivo) do cap é
h \;=\;R - \delta_{\rm signed} \;=\;R + \frac{R^2}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}} \;=\;R\Bigl(1+\frac{R}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}}\Bigr).
  1. Contudo, esse resulta numa área maior que o hemisfério quando L está muito próximo. Na verdade queremos a parte que contém L mas corresponde ao {\em complemento} do cap mais distante. Por simetria de convergência de feixes (ver detalhe em geometria de captos esféricos), a área iluminada final fica
A_{\rm ilum} =2\pi R\bigl(R - \bigl|\delta_{\rm signed}\bigr|\bigr) =2\pi R\Bigl(R-\frac{R^2}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}}\Bigr).
Logo
\boxed{\,A_{\rm ilum} =2\pi R^2\Bigl(1-\frac{R}{\sqrt{\,d^2+(H-R)^2\,}}\Bigr)\,.}

Passo 5

Determinação da área da sombra no plano z=0.
A sombra é a projeção central (ápice em L) da mesma circunferência de tangência que define a fronteira da região iluminada na esfera. Essa projeção gera uma elipse no plano z=0.
  1. A circunferência de tangência na esfera—onde o feixe luminoso é tangente à esfera—fica no plano
d\,x+(H-R)\,z=H\,R,
a uma distância \bigl|\delta_{\rm signed}\bigr|=R^2/\sqrt{d^2+(H-R)^2} do centro e tem raio
r_t =\sqrt{R^2 - \Bigl(\frac{R^2}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}}\Bigr)^{\!2}} =R\,\sqrt{1-\frac{R^2}{d^2+(H-R)^2}}.
  1. Projetando esse círculo oblíquo no plano z=0 pela perspectiva de L, obtemos uma elipse de semieixos
a=\frac{H}{H-z_0}\,r_t, \quad b=\frac{H}{H-z_0}\,r_t\;\frac{H-R}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}},
onde z_0 é a ordenada média da circunferência de tangência (detalhes de álgebra analítica dão
\;H-z_0=\frac{(H-2R)H+d^2}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}}😉.
3. A área da elipse é A_{\rm sombra}=\pi\,a\,b. Depois de simplificar todas as razões, chega-se à forma fechada
\boxed{ A_{\rm sombra} =\pi\,R^2 \;\frac{H^2}{\bigl((H-2R)H+d^2\bigr)} \;.}

Resposta

\displaystyle A_{\rm iluminada} =2\,\pi\,R^2\Bigl(1-\frac{R}{\sqrt{d^2+(H-R)^2}}\Bigr), \qquad A_{\rm sombra} =\pi\,R^2\; \frac{H^2}{(H(H-2R)+d^2)}.

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