Seja ABCDEFGH um cubo unitário, com faces opostas ABCD e EFGH e arestas AE, BF, CG e DH. Sejam M e N os pontos médios de BF e CG , respectivamente.
Calcule a distância entre as retas AG e MN.
Passo 1
O enunciado dá um cubo unitário ABCDEFGH e pede a distância entre as retas AG e MN, onde M e N são os pontos médios de BF e CG, respetivamente. O conteúdo necessário é geometria no espaço: usar coordenadas, vetores diretores e a fórmula da distância entre retas reversas (não paralelas, não coincidentes).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas: \displaystyle A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), F=(1,0,1), G=(1,1,1).
Como M é o ponto médio de BF e N o de CG, temos \displaystyle M=\bigl(1,0,\tfrac12\bigr) e \displaystyle N=\bigl(1,1,\tfrac12\bigr).
Passo 3
Para aplicar a fórmula da distância entre retas reversas, definimos vetores diretores e vetor de ligação: \displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AG}=G-A=(1,1,1), \displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MN}=N-M=(0,1,0),
e escolhemos o vetor que liga A a M: \displaystyle \overrightarrow{w}=M-A=\bigl(1,0,\tfrac12\bigr).