Considere um longo cabo coaxial. O condutor interno tem raio a e é mantido a um potencial V_{0}. O condutor externo tem raio b e está aterrado. Determine o potencial eletrostático entre os condutores.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pedem: determinar o potencial eletrostático no espaço entre os dois condutores, ou seja para a<r<b.\n
  • Dados fornecidos:
    • Condutor interno: raio a e potencial V(a)=V_{0}.
    • Condutor externo: raio b e está aterrado, ou seja V(b)=0.
    • O cabo é longo (assume-se comprimento muito maior que a,b), então podemos tratar a situação como independente da coordenada axial e do ângulo azimutal no problema.\n
      Resumo do que será encontrado: uma função V(r) válida para a<r<b que satisfaz as condições de contorno acima.

Passo 2

Por que o potencial depende só de r (simetria) e qual equação governante usar\n
  • Como o cabo é longo e as superfícies condutoras são cilíndricas coaxiais, as condições de contorno não variam com o ângulo \varphi nem com a coordenada axial z. Logo o potencial será função apenas da distância radial r: V=V(r).\n
  • No espaço entre os condutores não há carga volumétrica livre (toda carga reside nas superfícies condutoras). Portanto a equação de Poisson \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 reduz-se à equação de Laplace \nabla^2 V = 0 na região a<r<b.\n
    (Na prática de prova: sempre verifique simetrias do problema — aqui eliminam-se dependências em \varphi e z — e também verifique se há carga volumétrica no domínio.)

Passo 3

Escrever a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e simplificá-la para este caso\n
  • A forma do laplaciano em coordenadas cilíndricas é
\nabla^{2}V=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial\varphi^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
  • Como V não depende de \varphi nem de z, os dois últimos termos somam zero, restando
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right)=0.
Essa é a equação diferencial ordinária que devemos resolver para a<r<b.

Passo 4

Resolver a equação diferencial passo a passo (integrações explícitas)\n
  • Defina u(r)=r\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}. A equação fica \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=0, então u é constante:
r\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.\n
  • Isolando a derivada:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=\frac{C_{1}}{r}.
Integrando em r (lembrando que \int \tfrac{1}{r}\,\mathrm{d}r=\ln r):
V(r)=C_{1}\ln r + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.\n
  • Interpretação: a forma geral da solução em regime cilíndrico sem dependência angular/axial é uma combinação afim do logaritmo de r.

Passo 5

Determinar as constantes usando as condições de contorno\n
  • Aplicar V(a)=V_{0}:
V_{0}=C_{1}\ln a + C_{2}.
  • Aplicar V(b)=0:
0=C_{1}\ln b + C_{2}.
  • Subtraindo a segunda da primeira para eliminar C_{2}:
V_{0}=C_{1}(\ln a - \ln b)=C_{1}\ln\!\left(\frac{a}{b}\right).
  • Logo
C_{1}=\frac{V_{0}}{\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)}.
  • Encontrar C_{2} substituindo em 0=C_{1}\ln b + C_{2}:
C_{2}=-C_{1}\ln b = -\frac{V_{0}\ln b}{\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)}.

Passo 6

Escrever a solução final de forma mais conveniente e interpretar\n
  • Substituindo C_{1} e C_{2} em V(r)=C_{1}\ln r + C_{2} e simplificando (usar propriedades de logaritmo \ln b - \ln r=\ln(b/r) e \ln(b/a)=-\ln(a/b)):
V(r)=V_{0}\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},\qquad a<r<b.
  • Verificações rápidas que você pode fazer numa prova:
    • Em r=a: V(a)=V_{0}\dfrac{\ln(b/a)}{\ln(b/a)}=V_{0}.
    • Em r=b: V(b)=V_{0}\dfrac{\ln(b/b)}{\ln(b/a)}=0.
  • Se quiser também o campo elétrico (útil às vezes), compute E_{r}=-\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}:
E_{r}(r)=\frac{V_{0}}{r\,\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\qquad(\text{radial, no sentido do condutor externo}).
  • Ligação prática com carga linear: pela lei de Gauss para cilindros, tal campo corresponde a uma carga por unidade de comprimento
\lambda = 2\pi\varepsilon_{0}\,\frac{V_{0}}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Isso é útil se na prova perguntarem carga em função do potencial.

Resposta

V(r)=V_{0}\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},\qquad a<r<b

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