Considere um longo cabo coaxial. O condutor interno tem raio
e é mantido a um potencial
. O condutor externo tem raio
e está aterrado. Determine o potencial eletrostático entre os condutores.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos\n
- Pedem: determinar o potencial eletrostático no espaço entre os dois condutores, ou seja para
.\n - Dados fornecidos:
- Condutor interno: raio
e potencial . - Condutor externo: raio
e está aterrado, ou seja . - O cabo é longo (assume-se comprimento muito maior que
), então podemos tratar a situação como independente da coordenada axial e do ângulo azimutal no problema.\n
Resumo do que será encontrado: uma funçãoválida para que satisfaz as condições de contorno acima.
- Condutor interno: raio
Passo 2
Por que o potencial depende só de
(simetria) e qual equação governante usar\n
- Como o cabo é longo e as superfícies condutoras são cilíndricas coaxiais, as condições de contorno não variam com o ângulo
nem com a coordenada axial . Logo o potencial será função apenas da distância radial : .\n - No espaço entre os condutores não há carga volumétrica livre (toda carga reside nas superfícies condutoras). Portanto a equação de Poisson
reduz-se à equação de Laplace na região .\n
(Na prática de prova: sempre verifique simetrias do problema — aqui eliminam-se dependências eme — e também verifique se há carga volumétrica no domínio.)
Passo 3
Escrever a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e simplificá-la para este caso\n
- A forma do laplaciano em coordenadas cilíndricas é
- Como
não depende de nem de , os dois últimos termos somam zero, restando
Essa é a equação diferencial ordinária que devemos resolver para
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial passo a passo (integrações explícitas)\n
- Defina
. A equação fica , então é constante:
onde
é uma constante de integração.\n
- Isolando a derivada:
Integrando em
(lembrando que
):
onde
é outra constante de integração.\n
- Interpretação: a forma geral da solução em regime cilíndrico sem dependência angular/axial é uma combinação afim do logaritmo de
.
Passo 5
Determinar as constantes usando as condições de contorno\n
- Aplicar
:
- Aplicar
:
- Subtraindo a segunda da primeira para eliminar
:
- Logo
- Encontrar
substituindo em :
Passo 6
Escrever a solução final de forma mais conveniente e interpretar\n
- Substituindo
e em e simplificando (usar propriedades de logaritmo e ):
- Verificações rápidas que você pode fazer numa prova:
- Em
: . - Em
: .
- Em
- Se quiser também o campo elétrico (útil às vezes), compute
:
- Ligação prática com carga linear: pela lei de Gauss para cilindros, tal campo corresponde a uma carga por unidade de comprimento
Isso é útil se na prova perguntarem carga em função do potencial.