Considere o espaço V=C^0[1,2], com o produto interno usual. Calcule o produto interno de u(x)=x e v(x)=ln (x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto interno de duas funções no espaço usando o produto interno usual. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais com produto interno. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do produto das duas funções no intervalo de 1 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno no espaço de funções contínuas lang<= f, g rang<= = integrala^b f(x) cdot g(x) , dx . O produto interno usual é definido por:
No nosso caso, e , e as funções são e .

Passo 3

Vamos substituir as funções na fórmula do produto interno:
lang<= u, v rang<= = integral1^2 x cdot ln(x) , dx
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar , vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 4

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar as partes:
  • Escolha integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - integral x^22 cdot 1x , dx = x^22 ln(x) - 12 integral x , dx então
  • Escolha então
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 5

Vamos calcular a integral restante:
12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24
Agora, substituindo de volta:
integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - x^24 + C
Onde [ x^22 ln(x) - x^24 ]1^2 é a constante de integração. Agora, vamos calcular o valor definido de 1 a 2:
42 ln(2) - 44 = 2 ln(2) - 1
Calculando para 12 ln(1) - 14 = 0 - 14 = -14 :
(2 ln(2) - 1) - (-14) = 2 ln(2) - 34
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

O produto interno de lang<= u, v rang<= = 2 ln(2) - 34 e no espaço é:

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