Considere o espaço
, com o produto interno usual. Calcule o produto interno de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto interno de duas funções no espaço
usando o produto interno usual. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais com produto interno. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do produto das duas funções no intervalo de 1 a 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno no espaço de funções contínuas
. O produto interno usual é definido por:
No nosso caso,
e
, e as funções são
e
.
Passo 3
Vamos substituir as funções na fórmula do produto interno:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 4
A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos identificar as partes:
- Escolha
então - Escolha
então
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 5
Vamos calcular a integral restante:
Agora, substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração. Agora, vamos calcular o valor definido de 1 a 2:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo:
Resposta
O produto interno de
e
no espaço
é: