Considere o espaço vetorial \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{33333} p(t) q(t) d t
Seja U=\left[1+x, x^{2}\right]. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A) Existe uma transformação linear injetora T: U^{\perp} \rightarrow \mathbb{R}^{5}.
(B) A transformação linear \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \rightarrow U, v \mapsto \operatorname{proj}_{U} v, é sobrejetora.
(C) A transformação linear \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \rightarrow U^{\perp}, v \mapsto \operatorname{proj}_{U^{\perp}} v, é sobrejetora.
(D) Se L: \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{5} é uma transformação linear, então \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(L)) \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) com produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{33333} p(t)q(t)\,dt,
e o subespaço U=\left[1+x, x^{2}\right] (ou seja, o subespaço gerado pelos vetores 1+x e x^{2}). Pergunta-se qual das alternativas (A), (B), (C), (D) é FALSA.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O produto interno é bem definido (intervalo de integração tem medida positiva), logo o espaço é um espaço euclidiano finito dimensional.
  • U é o subespaço gerado por duas funções/polinômios \{1+x,\;x^{2}\}, que são linearmente independentes, portanto \dim(U)=2.
  • Precisamos usar conceitos de dimensão, complemento ortogonal, projeção ortogonal, existência de aplicações lineares injetoras/sobrejetoras e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Vou calcular as dimensões necessárias (parte teórica que sempre uso nesses problemas). Aqui é importante saber a dimensão de \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}). Em notação padrão usa-se
\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})=\{ \text{polinômios reais de grau } \leq 5\},ô
portanto uma base natural é \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}\} e
\dim\big(\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\big)=6.
Isso é uma informação padrão que vou usar: domínio tem dimensão 6. Já observamos que \dim(U)=2. Pelo teorema da dimensão para espaços euclidianos (ou regra da soma direta),
\dim(U^{\perp})=\dim\big(\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\big)-\dim(U)=6-2=4.
Então temos: \dim(\mathcal{P}_{5})=6,\;\dim(U)=2,\;\dim(U^{\perp})=4.

Passo 3

Explico o que significam e quando são verdadeiras as afirmações do tipo “existe aplicação injetora” ou “projeção é sobrejetora”, para depois aplicar aos itens.
  • Teorema do posto-nulidade (rank-nullity): para uma transformação linear L:V\to W entre espaços vetoriais finito-dimensionais vale
\dim(\ker L)+\dim(\operatorname{Im} L)=\dim V.
Em particular, \operatorname{rank}(L)=\dim(\operatorname{Im} L)\le \dim W.
  • Existência de aplicação linear injetora entre espaços: existe uma aplicação linear injetora T:V\to W se e só se \dim V\le \dim W. Construção concreta: escolhe-se uma base de V e se mapeia essa base em um conjunto de vetores linearmente independentes de W.
  • Projeção ortogonal em subespaço S (num espaço euclidiano finito-dimensional): a aplicação \operatorname{proj}_{S}:V\to S é linear e tem imagem exatamente S. Portanto é sobrejetora (porque para cada s\in S temos \operatorname{proj}_{S}(s)=s). O mesmo vale para \operatorname{proj}_{S^{\perp}}.

Passo 4

Analisando a alternativa (A):
(A) “Existe uma transformação linear injetora T:U^{\perp}\to\mathbb{R}^{5}.”
Temos \dim(U^{\perp})=4 (do Passo 2) e \dim(\mathbb{R}^{5})=5. Como \dim(U^{\perp})\le\dim(\mathbb{R}^{5}), existe sim uma aplicação linear injetora: basta escolher uma base de U^{\perp} (4 vetores) e enviá‑los para 4 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{5} (por exemplo, as primeiras 4 colunas da matriz identidade I_{5}). Portanto (A) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a alternativa (B):
(B) “A transformação linear \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\to U,\;v\mapsto\operatorname{proj}_{U}v, é sobrejetora.”
A projeção ortogonal numa subspace U de um espaço euclidiano finito-dimensional é uma aplicação linear cuja imagem é exatamente U. Em particular, para qualquer u\in U temos \operatorname{proj}_{U}(u)=u. Logo a projeção é sobrejetora em U. Portanto (B) é verdadeira.

Passo 6

Analisando a alternativa (C):
(C) “A transformação linear \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\to U^{\perp},\;v\mapsto\operatorname{proj}_{U^{\perp}}v, é sobrejetora.”
Mesma razão do passo anterior: a projeção ortogonal em U^{\perp} tem imagem exatamente U^{\perp}. Para qualquer w\in U^{\perp} temos \operatorname{proj}_{U^{\perp}}(w)=w. Portanto a projeção é sobrejetora. Logo (C) é verdadeira.

Passo 7

Analisando a alternativa (D):
(D) “Se L:\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{5} é linear, então \dim(\ker(L))\ge 1.”
Usando o teorema do posto-nulidade: \dim(\ker L)=\dim(\mathcal{P}_{5})-\dim(\operatorname{Im}L). Temos \dim(\mathcal{P}_{5})=6 e \dim(\operatorname{Im}L)=\operatorname{rank}(L)\le \dim(\mathbb{R}^{5})=5. Assim
\dim(\ker L)=6-\operatorname{rank}(L)\ge 6-5=1.
Portanto qualquer transformação linear L:\mathcal{P}_{5}\to\mathbb{R}^{5} tem necessariamente \dim(\ker L)\ge 1. Ou seja, (D) é verdadeira.

Passo 8

Concluindo a verificação: das quatro alternativas, (A), (B), (C) e (D), com as dimensões corretas \dim(\mathcal{P}_{5})=6 e \dim(U)=2 (logo \dim(U^{\perp})=4), todas as quatro afirmações são verdadeiras. Mas o enunciado pede para assinalar a alternativa FALSA; como verificamos rigorosamente, nenhuma das alternativas é falsa — todas são verdadeiras.

Resposta

Nenhuma das alternativas é falsa.

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