Considere o espaço vetorial
com o produto interno
Seja
. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A) Existe uma transformação linear injetora
.
(B) A transformação linear
, é sobrejetora.
(C) A transformação linear
, é sobrejetora.
(D) Se
é uma transformação linear, então
.
(A) Existe uma transformação linear injetora
(B) A transformação linear
(C) A transformação linear
(D) Se
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com produto interno
e o subespaço
(ou seja, o subespaço gerado pelos vetores
e
). Pergunta-se qual das alternativas (A), (B), (C), (D) é FALSA.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O produto interno é bem definido (intervalo de integração tem medida positiva), logo o espaço é um espaço euclidiano finito dimensional.
-
é o subespaço gerado por duas funções/polinômios , que são linearmente independentes, portanto . - Precisamos usar conceitos de dimensão, complemento ortogonal, projeção ortogonal, existência de aplicações lineares injetoras/sobrejetoras e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Vou calcular as dimensões necessárias (parte teórica que sempre uso nesses problemas). Aqui é importante saber a dimensão de
. Em notação padrão usa-se
portanto uma base natural é
e
Isso é uma informação padrão que vou usar: domínio tem dimensão
. Já observamos que
. Pelo teorema da dimensão para espaços euclidianos (ou regra da soma direta),
Então temos:
.
Passo 3
Explico o que significam e quando são verdadeiras as afirmações do tipo “existe aplicação injetora” ou “projeção é sobrejetora”, para depois aplicar aos itens.
- Teorema do posto-nulidade (rank-nullity): para uma transformação linear
entre espaços vetoriais finito-dimensionais vale
Em particular,
.
-
Existência de aplicação linear injetora entre espaços: existe uma aplicação linear injetora
se e só se . Construção concreta: escolhe-se uma base de e se mapeia essa base em um conjunto de vetores linearmente independentes de . -
Projeção ortogonal em subespaço
(num espaço euclidiano finito-dimensional): a aplicação é linear e tem imagem exatamente . Portanto é sobrejetora (porque para cada temos ). O mesmo vale para .
Passo 4
Analisando a alternativa (A):
(A) “Existe uma transformação linear injetora
.”
Temos
(do Passo 2) e
. Como
, existe sim uma aplicação linear injetora: basta escolher uma base de
(4 vetores) e enviá‑los para 4 vetores linearmente independentes em
(por exemplo, as primeiras 4 colunas da matriz identidade
). Portanto (A) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a alternativa (B):
(B) “A transformação linear
, é sobrejetora.”
A projeção ortogonal numa subspace
de um espaço euclidiano finito-dimensional é uma aplicação linear cuja imagem é exatamente
. Em particular, para qualquer
temos
. Logo a projeção é sobrejetora em
. Portanto (B) é verdadeira.
Passo 6
Analisando a alternativa (C):
(C) “A transformação linear
, é sobrejetora.”
Mesma razão do passo anterior: a projeção ortogonal em
tem imagem exatamente
. Para qualquer
temos
. Portanto a projeção é sobrejetora. Logo (C) é verdadeira.
Passo 7
Analisando a alternativa (D):
(D) “Se
é linear, então
.”
Usando o teorema do posto-nulidade:
. Temos
e
. Assim
Portanto qualquer transformação linear
tem necessariamente
. Ou seja, (D) é verdadeira.
Passo 8
Concluindo a verificação: das quatro alternativas, (A), (B), (C) e (D), com as dimensões corretas
e
(logo
), todas as quatro afirmações são verdadeiras. Mas o enunciado pede para assinalar a alternativa FALSA; como verificamos rigorosamente, nenhuma das alternativas é falsa — todas são verdadeiras.
Resposta
Nenhuma das alternativas é falsa.