Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique suas respostas.
(i) Uma transformação linear T: U \rightarrow V é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))=\operatorname{dim}(U)- \operatorname{dim}(V).
(ii) Dada uma transformação linear T: U \rightarrow V e um vetor v \in V, o conjunto G=\{x \in U: T(x)= v\} é um subespaço de U.
(iii) O núcleo de uma transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3 .
(iv) Se uma transformação linear T: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} for injetora, então \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=m.
(v) Se T: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} for uma transformação linear sobrejetora, então \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))=m-n.

Passo 1

O enunciado dá cinco afirmações (i)–(v) sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita e pede que eu decida se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. Dados e perguntas que preciso considerar:
  • Temos espaços vetoriais U e V de dimensão finita, e transformações lineares T:U\to V (em alguns itens U=\mathbb{R}^m e V=\mathbb{R}^n).
  • Para cada afirmação devo decidir Verdadeira ou Falsa e justificar.
  • As afirmações envolvem \operatorname{Ker}(T) (núcleo), \operatorname{Im}(T) (imagem), dimensões e propriedades de injetividade/sobrejetividade.
  • As cinco afirmações são:
    (i) Uma transformação linear T:U\to V é sobrejetora se, e somente se, \dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(U)-\dim(V).
    (ii) Para T:U\to V linear e v\in V, o conjunto G=\{x\in U: T(x)=v\} é subespaço de U.
    (iii) Para T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3, o núcleo tem dimensão maior ou igual a 3.
    (iv) Se T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n for injetora, então \dim(\operatorname{Im}(T))=m.
    (v) Se T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n for sobrejetora, então \dim(\operatorname{Ker}(T))=m-n.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: o teorema da dimensão (rank–nullity). Vou explicar o que ele diz e por que é útil.
  • Definições:
    • O núcleo de T é \operatorname{Ker}(T)=\{x\in U: T(x)=0\}. É sempre um subespaço de U.
    • A imagem de T é \operatorname{Im}(T)=\{T(x):x\in U\}. É sempre um subespaço de V.
    • A dimensão de um espaço é o número de vetores de qualquer base desse espaço.
  • Teorema da dimensão (rank–nullity): para uma transformação linear T:U\to V entre espaços vetoriais de dimensão finita vale a fórmula
\dim(U)=\dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).
Nesta fórmula:
  • \dim(\operatorname{Ker}(T)) é chamada nulidade (nullity),
  • \dim(\operatorname{Im}(T)) é chamada posto ou rank.
  • Intuição: a dimensão do domínio se “divide” entre as direções que se anulam (núcleo) e as direções que sobrevivem (imagem).
Vou usar essa igualdade repetidas vezes para relacionar injetividade/sobrejetividade com dimensões.

Passo 3

Afirmativa: " T:U\to V é sobrejetora se, e somente se, \dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(U)-\dim(V)."
Prova (duas direções):
  1. Se T é sobrejetora, então \operatorname{Im}(T)=V, portanto \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V). Aplicando rank–nullity:
\dim(U)=\dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(V).
Isto implica
\dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(U)-\dim(V).
Logo, sobrejetividade implica a igualdade proposta.
  1. Agora a recíproca: suponha \dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(U)-\dim(V). Pela fórmula rank–nullity,
\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(U)-\dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(U)-(\dim(U)-\dim(V))=\dim(V).
Como \operatorname{Im}(T) é subespaço de V com a mesma dimensão de V, necessariamente \operatorname{Im}(T)=V, ou seja, T é sobrejetora.
Conclusão: tanto a implicação direta quanto a recíproca valem. Portanto a afirmação (i) é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa: “Dado T:U\to V linear e v\in V, o conjunto G=\{x\in U: T(x)=v\} é subespaço de U.”
Análise didática:
  • Um subespaço deve satisfazer: conter o vetor nulo, ser fechado por soma e por multiplicação escalar.
  • Vamos verificar para G.
  1. Se G estiver vazio, então não é subespaço (subespaços sempre contém 0). Quando G é vazio? Se v não pertence à imagem de T.
  2. Suponha G não vazio, e tome x_1,x_2\in G. Então T(x_1)=v e T(x_2)=v. A soma:
T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)=v+v=2v.
Geralmente 2v\neq v (exceto se v=0). Logo x_1+x_2 não precisa pertencer a G. Portanto G não é fechado por adição, salvo casos especiais.
Exemplo simples (contraexemplo): tome U=V=\mathbb{R}, T identidade T(x)=x, e v=1. Então G=\{1\}. Esse conjunto não é subespaço ( 0\notin G, soma de elementos impossível etc).
Observação importante: quando v=0, G=\operatorname{Ker}(T), que é subespaço. Mas para v\neq 0 em geral G é um conjunto afim (translação do núcleo) ou vazio, não um subespaço.
Conclusão: (ii) é falsa (exceto no caso especial v=0, mas como enunciado fala de um v qualquer, a afirmação geral é falsa).

Passo 5

Afirmativa: “O núcleo de T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3 tem dimensão maior ou igual a 3.”
Use rank–nullity: para qualquer T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3,
\dim(\operatorname{Ker}(T))=5-\dim(\operatorname{Im}(T)).
Sabemos que \dim(\operatorname{Im}(T))\le 3 (imagem é subespaço de \mathbb{R}^3). Assim
\dim(\operatorname{Ker}(T))\ge 5-3=2.
Logo a nulidade é pelo menos 2, não necessariamente pelo menos 3. A afirmação exigia "maior ou igual a 3"; isso não é garantido.
Contraexemplo concreto: considere T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3 que projeta nos três primeiros componentes:
T(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_1,x_2,x_3).
Aqui \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 com dimensão 3, então
\dim(\operatorname{Ker}(T))=5-3=2<3.
Portanto a afirmação (iii) é falsa.

Passo 6

Afirmativa: “Se T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n for injetora, então \dim(\operatorname{Im}(T))=m.”
Justificação com rank–nullity:
  • Injetividade equivale a \operatorname{Ker}(T)=\{0\}, logo \dim(\operatorname{Ker}(T))=0.
  • Aplica-se rank–nullity:
\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\mathbb{R}^m)-\dim(\operatorname{Ker}(T))=m-0=m.
Além disso, como \operatorname{Im}(T) é subespaço de \mathbb{R}^n, isso força m\le n (coerência dimensional), mas a igualdade \dim(\operatorname{Im}(T))=m é correta.
Conclusão: (iv) é verdadeira.

Passo 7

Afirmativa: “Se T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n for sobrejetora, então \dim(\operatorname{Ker}(T))=m-n.”
Justificação:
  • Sobrejetividade implica \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^n, então \dim(\operatorname{Im}(T))=n.
  • Pelo teorema da dimensão,
\dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(\mathbb{R}^m)-\dim(\operatorname{Im}(T))=m-n.
Observação: isto também mostra que, se T é sobrejetora, necessariamente m\ge n (caso contrário m-n seria negativo, impossível para dimensão).
Conclusão: (v) é verdadeira.

Resposta

(i) Verdadeira
(ii) Falsa
(iii) Falsa
(iv) Verdadeira
(v) Verdadeira

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