Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique suas respostas.
(i) Uma transformação linear
é sobrejetora se, e somente se,
.
(ii) Dada uma transformação linear
e um vetor
, o conjunto
é um subespaço de
.
(iii) O núcleo de uma transformação linear
tem dimensão maior ou igual a 3 .
(iv) Se uma transformação linear
for injetora, então
.
(v) Se
for uma transformação linear sobrejetora, então
.
(i) Uma transformação linear
(ii) Dada uma transformação linear
(iii) O núcleo de uma transformação linear
(iv) Se uma transformação linear
(v) Se
Passo 1
O enunciado dá cinco afirmações (i)–(v) sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita e pede que eu decida se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. Dados e perguntas que preciso considerar:
- Temos espaços vetoriais
e de dimensão finita, e transformações lineares (em alguns itens e ). - Para cada afirmação devo decidir Verdadeira ou Falsa e justificar.
- As afirmações envolvem
(núcleo), (imagem), dimensões e propriedades de injetividade/sobrejetividade. - As cinco afirmações são:
(i) Uma transformação linearé sobrejetora se, e somente se, .
(ii) Paralinear e , o conjunto é subespaço de .
(iii) Para, o núcleo tem dimensão maior ou igual a .
(iv) Sefor injetora, então .
(v) Sefor sobrejetora, então .
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: o teorema da dimensão (rank–nullity). Vou explicar o que ele diz e por que é útil.
-
Definições:
- O núcleo de
é . É sempre um subespaço de . - A imagem de
é . É sempre um subespaço de . - A dimensão de um espaço é o número de vetores de qualquer base desse espaço.
- O núcleo de
-
Teorema da dimensão (rank–nullity): para uma transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita vale a fórmula
Nesta fórmula:
-
é chamada nulidade (nullity), -
é chamada posto ou rank. -
Intuição: a dimensão do domínio se “divide” entre as direções que se anulam (núcleo) e as direções que sobrevivem (imagem).
Vou usar essa igualdade repetidas vezes para relacionar injetividade/sobrejetividade com dimensões.
Passo 3
Afirmativa: "
é sobrejetora se, e somente se,
."
Prova (duas direções):
- Se
é sobrejetora, então , portanto . Aplicando rank–nullity:
Isto implica
Logo, sobrejetividade implica a igualdade proposta.
- Agora a recíproca: suponha
. Pela fórmula rank–nullity,
Como
é subespaço de
com a mesma dimensão de
, necessariamente
, ou seja,
é sobrejetora.
Conclusão: tanto a implicação direta quanto a recíproca valem. Portanto a afirmação (i) é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa: “Dado
linear e
, o conjunto
é subespaço de
.”
Análise didática:
- Um subespaço deve satisfazer: conter o vetor nulo, ser fechado por soma e por multiplicação escalar.
- Vamos verificar para
.
- Se
estiver vazio, então não é subespaço (subespaços sempre contém ). Quando é vazio? Se não pertence à imagem de . - Suponha
não vazio, e tome . Então e . A soma:
Geralmente
(exceto se
). Logo
não precisa pertencer a
. Portanto
não é fechado por adição, salvo casos especiais.
Exemplo simples (contraexemplo): tome
,
identidade
, e
. Então
. Esse conjunto não é subespaço (
, soma de elementos impossível etc).
Observação importante: quando
,
, que é subespaço. Mas para
em geral
é um conjunto afim (translação do núcleo) ou vazio, não um subespaço.
Conclusão: (ii) é falsa (exceto no caso especial
, mas como enunciado fala de um
qualquer, a afirmação geral é falsa).
Passo 5
Afirmativa: “O núcleo de
tem dimensão maior ou igual a
.”
Use rank–nullity: para qualquer
,
Sabemos que
(imagem é subespaço de
). Assim
Logo a nulidade é pelo menos
, não necessariamente pelo menos
. A afirmação exigia "maior ou igual a
"; isso não é garantido.
Contraexemplo concreto: considere
que projeta nos três primeiros componentes:
Aqui
com dimensão
, então
Portanto a afirmação (iii) é falsa.
Passo 6
Afirmativa: “Se
for injetora, então
.”
Justificação com rank–nullity:
- Injetividade equivale a
, logo . - Aplica-se rank–nullity:
Além disso, como
é subespaço de
, isso força
(coerência dimensional), mas a igualdade
é correta.
Conclusão: (iv) é verdadeira.
Passo 7
Afirmativa: “Se
for sobrejetora, então
.”
Justificação:
- Sobrejetividade implica
, então . - Pelo teorema da dimensão,
Observação: isto também mostra que, se
é sobrejetora, necessariamente
(caso contrário
seria negativo, impossível para dimensão).
Conclusão: (v) é verdadeira.
Resposta
(i) Verdadeira
(ii) Falsa
(iii) Falsa
(iv) Verdadeira
(v) Verdadeira
(ii) Falsa
(iii) Falsa
(iv) Verdadeira
(v) Verdadeira