Considere o espaço vetorial real \mathbb{R}^{4} (onde +\mathrm{e} \cdot são as operações usuais de \mathbb{R}^{4} ) e os seguintes subespaços vetoriais:
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y+t+z=0\right\} \quad \text { e } \quad W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y-t+z=0\right\}
Encontre um conjunto finito de geradores para os seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial \left(\mathbb{R}^{4},+, \cdot\right) :
(a) U
(b) W
(c) U \cap W
(d) U+W

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{R}^{4} com as operações usuais e define dois subespaços por equações lineares:
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \;|\; x - y + z + t = 0\}
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \;|\; x + y + z - t = 0\}
As perguntas são:
(a) Encontrar um conjunto finito de geradores para U.
(b) Encontrar um conjunto finito de geradores para W.
(c) Encontrar um conjunto finito de geradores para U\cap W.
(d) Encontrar um conjunto finito de geradores para U+W.
Informações relevantes dadas: cada subespaço é o conjunto de soluções de uma equação linear em quatro incógnitas (portanto cada um tem dimensão 3, tipicamente), e para U\cap W precisamos resolver as duas equações simultaneamente.

Passo 2

Vamos explicar a técnica que vou usar (passo a passo e bem mastigado):
  • Quando um subespaço é descrito por uma equação linear em coordenadas, por exemplo \;a_1x+a_2y+a_3z+a_4t=0\;, podemos resolver essa equação isolando uma coordenada (ou seja, escolher variáveis livres) e escrever um vetor genérico das soluções como combinação linear de vetores “parciais”. Esses vetores parciais serão geradores do subespaço.
  • Exemplo simples: se x-y+z+t=0 eu posso isolar x como x = y - z - t. Então todo vetor (x,y,z,t) nas soluções pode ser escrito em função de y,z,t. Ao separar os coeficientes de y,z,t obtemos a representação como combinação linear de três vetores (um para cada variável livre). Esses três vetores geram o subespaço.
  • Para a interseção U\cap W resolvemos o sistema formado pelas duas equações simultaneamente, transformando-o em relações entre as coordenadas (por adição/subtração, eliminação etc.), escolhemos variáveis livres e parametrizamos.
  • Para a soma U+W podemos usar a fórmula de dimensão:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Se obtermos \dim(U+W)=4 (a dimensão de \mathbb{R}^4), então U+W=\mathbb{R}^4 e um conjunto finito de geradores é, por exemplo, a base canônica \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
Agora aplico essa técnica nas partes (a)–(d).

Passo 3

A equação de U é
x - y + z + t = 0.
Isolando x em função de y,z,t (escolhendo y,z,t como variáveis livres):
x = y - z - t.
Logo um vetor genérico em U é
(x,y,z,t) = (y - z - t,\; y,\; z,\; t).
Agora separamos os coeficientes das variáveis livres y,z,t:
(y - z - t,\; y,\; z,\; t) = y(1,1,0,0) + z(-1,0,1,0) + t(-1,0,0,1).
Isto mostra que os vetores
(1,1,0,0),\quad (-1,0,1,0),\quad (-1,0,0,1)
geram U (qualquer vetor de U é combinação linear desses três). Assim temos um conjunto finito de geradores para U.
Breve comentário didático: escolhemos y,z,t livres porque a equação dá uma relação linear entre as quatro coordenadas, então sobra uma liberdade a menos; separar em termos das variáveis livres nos dá diretamente os vetores geradores.

Passo 4

A equação de W é
x + y + z - t = 0.
Isolando x em função de y,z,t:
x = -y - z + t.
Então um vetor genérico em W é
(x,y,z,t) = (-y - z + t,\; y,\; z,\; t).
Separe os coeficientes de y,z,t:
(-y - z + t,\; y,\; z,\; t) = y(-1,1,0,0) + z(-1,0,1,0) + t(1,0,0,1).
Logo os vetores
(-1,1,0,0),\quad (-1,0,1,0),\quad (1,0,0,1)
formam um conjunto finito de geradores de W.
Comentário: note que o vetor (-1,0,1,0) aparece em ambos U e W; isso não é coincidência — frequentemente vetores aparecem em interseções.

Passo 5

Para U\cap W\) precisamos que \((x,y,z,t)\) satisfaça simultaneamente \[\begin{cases} x - y + z + t = 0,\\[4pt] x + y + z - t = 0. \end{cases}
Faço operações para eliminar variáveis. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x+y+z-t) - (x - y + z + t) = 0 - 0 \quad\Rightarrow\quad 2y - 2t = 0,
ou seja
y - t = 0 \quad\Rightarrow\quad y = t.
Somando as duas equações:
(x - y + z + t) + (x + y + z - t) = 0 + 0 \quad\Rightarrow\quad 2x + 2z = 0,
ou seja
x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -z.
Agora escolho parâmetros livres: deixe z = s\] e \(t = u. Então
x = -s,\quad y = u,\quad z = s,\quad t = u.
Portanto um vetor genérico em U\cap W é
(-s,\; u,\; s,\; u) = s(-1,0,1,0) + u(0,1,0,1).
Isto prova que os vetores
(-1,0,1,0),\quad (0,1,0,1)
geram U\cap W. (Na verdade eles são independentes e formam uma base de U\cap W, que tem dimensão 2.)]

Passo 6

Primeiro uso a fórmula de dimensões. Já vimos que cada um dos subespaços U e W é definido por uma única equação linear não degenerada em \mathbb{R}^4, então tipicamente \dim(U)=\dim(W)=3 (ou se preferir: cada um tem três variáveis livres quando isolamos uma coordenada). De (c) obtivemos \dim(U\cap W)=2 (dois parâmetros s,u). Logo pela fórmula
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=3+3-2=4.
Como \dim(\mathbb{R}^4)=4, concluímos que U+W é todo \mathbb{R}^4.
Portanto um conjunto finito de geradores para U+W é qualquer conjunto que gere \mathbb{R}^4. A escolha mais simples é a base canônica:
(1,0,0,0),\quad (0,1,0,0),\quad (0,0,1,0),\quad (0,0,0,1).
Também poderia usar a união dos geradores de U e W obtidos antes; essa união gera certamente U+W, mas é mais compacto usar a base canônica para deixar explícito que geramos todo \mathbb{R}^4.

Resposta

(a) \{(1,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(-1,0,0,1)\}
(b) \{(-1,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(1,0,0,1)\}
(c) \{(-1,0,1,0),\,(0,1,0,1)\}
(d) \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}

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