Considere o espaço vetorial real
(onde
são as operações usuais de
) e os seguintes subespaços vetoriais:
Encontre um conjunto finito de geradores para os seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e define dois subespaços por equações lineares:
As perguntas são:
(a) Encontrar um conjunto finito de geradores para
.
(b) Encontrar um conjunto finito de geradores para
.
(c) Encontrar um conjunto finito de geradores para
.
(d) Encontrar um conjunto finito de geradores para
.
Informações relevantes dadas: cada subespaço é o conjunto de soluções de uma equação linear em quatro incógnitas (portanto cada um tem dimensão
, tipicamente), e para
precisamos resolver as duas equações simultaneamente.
Passo 2
Vamos explicar a técnica que vou usar (passo a passo e bem mastigado):
-
Quando um subespaço é descrito por uma equação linear em coordenadas, por exemplo
, podemos resolver essa equação isolando uma coordenada (ou seja, escolher variáveis livres) e escrever um vetor genérico das soluções como combinação linear de vetores “parciais”. Esses vetores parciais serão geradores do subespaço. -
Exemplo simples: se
eu posso isolar como . Então todo vetor nas soluções pode ser escrito em função de . Ao separar os coeficientes de obtemos a representação como combinação linear de três vetores (um para cada variável livre). Esses três vetores geram o subespaço. -
Para a interseção
resolvemos o sistema formado pelas duas equações simultaneamente, transformando-o em relações entre as coordenadas (por adição/subtração, eliminação etc.), escolhemos variáveis livres e parametrizamos. -
Para a soma
podemos usar a fórmula de dimensão:
Se obtermos
(a dimensão de
), então
e um conjunto finito de geradores é, por exemplo, a base canônica
.
Agora aplico essa técnica nas partes (a)–(d).
Passo 3
A equação de
é
Isolando
em função de
(escolhendo
como variáveis livres):
Logo um vetor genérico em
é
Agora separamos os coeficientes das variáveis livres
:
Isto mostra que os vetores
geram
(qualquer vetor de
é combinação linear desses três). Assim temos um conjunto finito de geradores para
.
Breve comentário didático: escolhemos
livres porque a equação dá uma relação linear entre as quatro coordenadas, então sobra uma liberdade a menos; separar em termos das variáveis livres nos dá diretamente os vetores geradores.
Passo 4
A equação de
é
Isolando
em função de
:
Então um vetor genérico em
é
Separe os coeficientes de
:
Logo os vetores
formam um conjunto finito de geradores de
.
Comentário: note que o vetor
aparece em ambos
e
; isso não é coincidência — frequentemente vetores aparecem em interseções.
Passo 5
Para
Faço operações para eliminar variáveis. Subtraindo a primeira equação da segunda:
ou seja
Somando as duas equações:
ou seja
Agora escolho parâmetros livres: deixe
. Então
Portanto um vetor genérico em
é
Isto prova que os vetores
geram
. (Na verdade eles são independentes e formam uma base de
, que tem dimensão
.)]
Passo 6
Primeiro uso a fórmula de dimensões. Já vimos que cada um dos subespaços
e
é definido por uma única equação linear não degenerada em
, então tipicamente
(ou se preferir: cada um tem três variáveis livres quando isolamos uma coordenada). De (c) obtivemos
(dois parâmetros
). Logo pela fórmula
Como
, concluímos que
é todo
.
Portanto um conjunto finito de geradores para
é qualquer conjunto que gere
. A escolha mais simples é a base canônica:
Também poderia usar a união dos geradores de
e
obtidos antes; essa união gera certamente
, mas é mais compacto usar a base canônica para deixar explícito que geramos todo
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)