Sejam
e
onde
é o espaço vetorial real das funções reais.
(a) Verifique que
e
são subespaços vetoriais de
(onde
são as operações usuais de
).
(b) Verifique que
(a) Verifique que
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Verificar que e
são subespaços vetoriais de
.
(b) Verificar que
(a) Verificar que
(b) Verificar que
Informações dadas e símbolos importantes:
-
(funções pares). -
(funções ímpares). - O espaço ambiente é
com as operações usuais: soma de funções e multiplicação por escalar , . - Objetivo: mostrar que cada conjunto é fechado para as operações lineares (subespaço) e depois provar a decomposição direta (todo
se escreve soma de um par e um ímpar, de forma única).
Passo 2
Lembrete do teste prático de subespaço (explicação didática): para mostrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço, basta verificar três coisas equivalentes e fáceis de aplicar:
-
não é vazio (usualmente mostramos que a função zero pertence a ). - Fechamento por soma: se
então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então .
Vou aplicar exatamente essas três verificações para cada conjunto. É um método direto que dá para fazer durante a prova sem inventar nada.
Passo 3
Verificação para
(funções pares).
- Não vazio / contém o zero:
Defina a função zeropor para todo . Então
logo
.
- Fechamento por soma:
Sejam. Isso significa que e para todo . Então, para todo ,
Portanto
é par, isto é
.
- Fechamento por escalar:
Sejae . Então, para todo ,
Logo
.
Concluímos que
é subespaço.
Passo 4
Verificação para
(funções ímpares).
- Não vazio / contém o zero:
A função zerosatisfaz
portanto
.
- Fechamento por soma:
Sejam. Então e . Para todo ,
Logo
.
- Fechamento por escalar:
Sejae . Então
Logo
.
Concluímos que
é subespaço.
Passo 5
Resumo e comentário: já provamos (com os três itens padrão) que tanto
quanto
são subespaços de
. Isso resolve a parte (a). Boa etapa!
Passo 6
Agora vamos à parte (b): provar que
Significado prático (explicação didática): isso quer dizer duas coisas que preciso mostrar:
- Todo
pode ser escrito como com e (soma gera o espaço). - A escrita é única, o que é equivalente a
(interseção trivial).
Vou construir explicitamente a decomposição de um
arbitrário — isso é padrão e muito útil na prova: decomposição par-ímpar.
Passo 7
Construção explícita da decomposição (a parte construtiva que você deve decorar para a prova).
Dado
, defina duas funções
e
por
Comentário: essas fórmulas são naturais — a média
extrai a parte que não muda quando trocamos
por
(a parte par) e a diferença dividida por 2 extrai a parte que muda de sinal (a parte ímpar). Essas são fórmulas que vale a pena memorizar; facilitam muito na prova.
Passo 8
Verificar que
e
.
-
é par:
Para todo,
Então
.
-
é ímpar:
Para todo,
Então
.
Passo 9
Verificar que
.
Calcule para todo
:
Portanto
. Assim toda função
é soma de uma função par e uma ímpar — isto prova que
Passo 10
Provar que a decomposição é única, ou seja, que a interseção é só o zero.
Seja
. Então
é par e ímpar ao mesmo tempo, o que significa que, para todo
,
Comparando as duas igualdades obtemos
, logo
, portanto
para todo
. Assim
. Concluímos que
Passo 11
Conclusão final sobre a parte (b): como mostramos (i) que toda função se escreve como soma de uma parte par e uma ímpar e (ii) que a interseção dos subespaços é apenas
, segue que
isto é, soma direta. A decomposição que construí é justamente a única possível para cada
.
Resposta
(a)
e
são subespaços vetoriais de
.\n(b)
.