Sejam
P(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) \doteq\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \text { é par } \mid f(-x)=f(x), x \in \mathbb{R}\}é
e
I(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) \doteq\{g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g \text { é ímpar } \mid g(-x)=-g(x), x \in \mathbb{R}\}éí
onde (\mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}),+, \cdot) é o espaço vetorial real das funções reais.
(a) Verifique que P(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) e I(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) são subespaços vetoriais de (\mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}),+, \cdot) (onde +\mathrm{e} \cdot são as operações usuais de \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) ).
(b) Verifique que
\mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R})=P(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) \oplus I(\mathbb{R} ; \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Verificar que P(\mathbb{R};\mathbb{R}) e I(\mathbb{R};\mathbb{R}) são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).
(b) Verificar que
\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) = P(\mathbb{R};\mathbb{R}) \oplus I(\mathbb{R};\mathbb{R}).
Informações dadas e símbolos importantes:
  • P(\mathbb{R};\mathbb{R}) \doteq \{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \mid f(-x)=f(x),\\ \forall x\in\mathbb{R}\} (funções pares).
  • I(\mathbb{R};\mathbb{R}) \doteq \{g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \mid g(-x)=-g(x),\\ \forall x\in\mathbb{R}\} (funções ímpares).
  • O espaço ambiente é \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) com as operações usuais: soma de funções (f+g)(x)=f(x)+g(x) e multiplicação por escalar (\alpha f)(x)=\alpha f(x), \alpha\in\mathbb{R}.
  • Objetivo: mostrar que cada conjunto é fechado para as operações lineares (subespaço) e depois provar a decomposição direta (todo f se escreve soma de um par e um ímpar, de forma única).

Passo 2

Lembrete do teste prático de subespaço (explicação didática): para mostrar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço, basta verificar três coisas equivalentes e fáceis de aplicar:
  1. W não é vazio (usualmente mostramos que a função zero \mathbf{0} pertence a W).
  2. Fechamento por soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Vou aplicar exatamente essas três verificações para cada conjunto. É um método direto que dá para fazer durante a prova sem inventar nada.

Passo 3

Verificação para P(\mathbb{R};\mathbb{R}) (funções pares).
  1. Não vazio / contém o zero:
    Defina a função zero \mathbf{0} por \mathbf{0}(x)=0 para todo x. Então
\mathbf{0}(-x)=0=\mathbf{0}(x),
logo \mathbf{0}\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}).
  1. Fechamento por soma:
    Sejam f,g\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}). Isso significa que f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x) para todo x. Então, para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Portanto f+g é par, isto é f+g\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}).
  1. Fechamento por escalar:
    Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}). Então, para todo x,
(\alpha f)(-x)=\alpha f(-x)=\alpha f(x)=(\alpha f)(x).
Logo \alpha f\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}).
Concluímos que P(\mathbb{R};\mathbb{R}) é subespaço.

Passo 4

Verificação para I(\mathbb{R};\mathbb{R}) (funções ímpares).
  1. Não vazio / contém o zero:
    A função zero \mathbf{0} satisfaz
\mathbf{0}(-x)=0=-\mathbf{0}(x),
portanto \mathbf{0}\in I(\mathbb{R};\mathbb{R}).
  1. Fechamento por soma:
    Sejam f,g\in I(\mathbb{R};\mathbb{R}). Então f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x). Para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x).
Logo f+g\in I(\mathbb{R};\mathbb{R}).
  1. Fechamento por escalar:
    Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in I(\mathbb{R};\mathbb{R}). Então
(\alpha f)(-x)=\alpha f(-x)=\alpha(-f(x))=-(\alpha f)(x).
Logo \alpha f\in I(\mathbb{R};\mathbb{R}).
Concluímos que I(\mathbb{R};\mathbb{R}) é subespaço.

Passo 5

Resumo e comentário: já provamos (com os três itens padrão) que tanto P(\mathbb{R};\mathbb{R}) quanto I(\mathbb{R};\mathbb{R}) são subespaços de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}). Isso resolve a parte (a). Boa etapa!

Passo 6

Agora vamos à parte (b): provar que
\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) = P(\mathbb{R};\mathbb{R}) \oplus I(\mathbb{R};\mathbb{R}).
Significado prático (explicação didática): isso quer dizer duas coisas que preciso mostrar:
  1. Todo f\in\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) pode ser escrito como f=p+i com p\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}) e i\in I(\mathbb{R};\mathbb{R}) (soma gera o espaço).
  2. A escrita é única, o que é equivalente a P(\mathbb{R};\mathbb{R})\cap I(\mathbb{R};\mathbb{R})=\{\mathbf{0}\} (interseção trivial).
Vou construir explicitamente a decomposição de um f arbitrário — isso é padrão e muito útil na prova: decomposição par-ímpar.

Passo 7

Construção explícita da decomposição (a parte construtiva que você deve decorar para a prova).
Dado f\in\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}), defina duas funções f_{\text{par}} e f_{\text{ímpar}}í por
f_{\text{par}}(x) \doteq \frac{f(x)+f(-x)}{2},
f_{\text{ímpar}}(x) \doteq \frac{f(x)-f(-x)}{2}.í
Comentário: essas fórmulas são naturais — a média (f(x)+f(-x))/2 extrai a parte que não muda quando trocamos x por -x (a parte par) e a diferença dividida por 2 extrai a parte que muda de sinal (a parte ímpar). Essas são fórmulas que vale a pena memorizar; facilitam muito na prova.

Passo 8

Verificar que f_{\text{par}}\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}) e f_{\text{ímpar}}\in I(\mathbb{R};\mathbb{R})í.
  1. f_{\text{par}} é par:
    Para todo x,
f_{\text{par}}(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=f_{\text{par}}(x).
Então f_{\text{par}}\in P(\mathbb{R};\mathbb{R}).
  1. f_{\text{ímpar}}í é ímpar:
    Para todo x,
f_{\text{ímpar}}(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f_{\text{ímpar}}(x).íí
Então f_{\text{ímpar}}\in I(\mathbb{R};\mathbb{R})í.

Passo 9

Verificar que f = f_{\text{par}} + f_{\text{ímpar}}í.
Calcule para todo x:
f_{\text{par}}(x)+f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x).í
Portanto f=f_{\text{par}}+f_{\text{ímpar}}í. Assim toda função f é soma de uma função par e uma ímpar — isto prova que
\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) = P(\mathbb{R};\mathbb{R}) + I(\mathbb{R};\mathbb{R}).

Passo 10

Provar que a decomposição é única, ou seja, que a interseção é só o zero.
Seja h\in P(\mathbb{R};\mathbb{R})\cap I(\mathbb{R};\mathbb{R}). Então h é par e ímpar ao mesmo tempo, o que significa que, para todo x,
h(-x)=h(x)\quad\text{e}\quad h(-x)=-h(x).
Comparando as duas igualdades obtemos h(x)=-h(x), logo 2h(x)=0, portanto h(x)=0 para todo x. Assim h=\mathbf{0}. Concluímos que
P(\mathbb{R};\mathbb{R})\cap I(\mathbb{R};\mathbb{R})=\{\mathbf{0}\}.

Passo 11

Conclusão final sobre a parte (b): como mostramos (i) que toda função se escreve como soma de uma parte par e uma ímpar e (ii) que a interseção dos subespaços é apenas \{\mathbf{0}\}, segue que
\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) = P(\mathbb{R};\mathbb{R}) \oplus I(\mathbb{R};\mathbb{R}),
isto é, soma direta. A decomposição que construí é justamente a única possível para cada f.

Resposta

(a) P(\mathbb{R};\mathbb{R}) e I(\mathbb{R};\mathbb{R}) são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).\n(b) \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})=P(\mathbb{R};\mathbb{R})\oplus I(\mathbb{R};\mathbb{R}).

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