Considere o espaço W como
W=\{(1,0,0,1,-1),(1,0,-1,1,1),(1,1,0,0,0)\}
a) Determine uma base ortonormal para W
b) Determine uma base ortonormal para \mathrm{W}^{\wedge} \mathrm{t}
c) Calcule a matriz (na base canônica) da trasnformação linear projw: R 5 \rightarrow R 5

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em linguagem bem clara):
  • Espaço W gerado pelos vetores w_1=(1,0,0,1,-1),\qquad w_2=(1,0,-1,1,1),\qquad w_3=(1,1,0,0,0).
  • Pedidos:
    (a) Uma base ortonormal de W.
    (b) Uma base ortonormal de W^\perp (o complementar ortogonal de W em \mathbb{R}^5).
    (c) A matriz, na base canônica de \mathbb{R}^5, da projeção ortogonal \operatorname{proj}_W:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^5.
Informações relevantes que usarei:
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^5: \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^5 x_i y_i.
  • Gram–Schmidt para produzir uma base ortonormal: tomar vetores geradores, ortogonalizar e normalizar.
  • Para W^\perp vou resolver o sistema linear dado por \langle w_i,x\rangle=0 para i=1,2,3 (vetores ortogonais a todos w_i).
  • Se U é a matriz cujas colunas são vetores ortonormais que formam uma base de W, então a matriz da projeção ortogonal sobre W é P=UU^{T}=\sum_{k} u_k u_k^{T},pois colunas de U são ortonormais.

Passo 2

Construção de uma base ortonormal de W (Gram–Schmidt com explicações passo a passo).
Começo com os vetores originais w_1,w_2,w_3.
  1. Primeiro vetor ortogonalizado e normalizado:
  • Tome v_1=w_1=(1,0,0,1,-1).
  • Norma ao quadrado: \|v_1\|^2=1^2+0+0+1^2+(-1)^2=3. Logo \|v_1\|=\sqrt{3}.
  • Normalizando: u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,0,1,-1).Explicação rápida: u_1 tem comprimento 1 e aponta na direção de w_1.
  1. Segundo vetor: subtrair a projeção sobre u_1.
  • Primeiro calcule \langle w_2,w_1\rangle = 1\cdot1 + 0\cdot0 +(-1)\cdot0 +1\cdot1 +1\cdot(-1)=1.
  • Projeção de w_2 sobre u_1 é \langle w_2,u_1\rangle u_1. Como \langle w_2,u_1\rangle=\dfrac{\langle w_2,w_1\rangle}{\|w_1\|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, a projeção é \dfrac{1}{3}w_1.
  • Assim v_2 = w_2 - \frac{1}{3}w_1 = \left(\frac{2}{3},0,-1,\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right).(ação: tiramos a componente na direção de u_1, sobrando a parte ortogonal a u_1.)
  • Norma ao quadrado de v_2: \|v_2\|^2=\frac{4}{9}+0+1+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}=\frac{33}{9}=\frac{11}{3}.Logo \|v_2\|=\sqrt{11/3}=\dfrac{\sqrt{33}}{3}.
  • É conveniente escrever v_2 multiplicando por 3: 3v_2=(2,0,-3,2,4). Assim a forma normalizada fica simples: u_2=\frac{v_2}{\|v_2\|}=\frac{(2,0,-3,2,4)}{\sqrt{33}}.Verificação: \|(2,0,-3,2,4)\|^2=33, então dividir por \sqrt{33} dá vetor unitário.
  1. Terceiro vetor: retirar projeções sobre u_1 e u_2.
  • Calcule \langle w_3,w_1\rangle = 1 e \langle w_3,v_2\rangle = dot de w_3=(1,1,0,0,0) com v_2=(2/3,0,-1,2/3,4/3) é 2/3.
  • Coeficientes das projeções:
    • Sobre u_1: \langle w_3,u_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{3}} → projeção \dfrac{1}{3}w_1.
    • Sobre u_2: coeficiente na direção de v_2 é \dfrac{\langle w_3,v_2\rangle}{\|v_2\|^2}=\dfrac{2/3}{11/3}=\dfrac{2}{11}. Então projeção é \dfrac{2}{11}v_2.
  • Subtrai: v_3 = w_3 - \frac{1}{3}w_1 - \frac{2}{11}v_2.Fazendo as contas (frações) obtemos v_3=\left(\frac{6}{11},1,\frac{2}{11},-\frac{5}{11},\frac{1}{11}\right).
  • Multiplicando por 11 fica 11v_3=(6,11,2,-5,1). A norma ao quadrado de esse vetor é 6^2+11^2+2^2+(-5)^2+1^2=187. Portanto u_3=\frac{11v_3}{\|11v_3\|}=\frac{(6,11,2,-5,1)}{\sqrt{187}}.(ou seja, u_3=\dfrac{(6,11,2,-5,1)}{\sqrt{187}}.)
Resumo do passo Gram–Schmidt: os três vetores ortonormais que obtive são
u_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,0,1,-1),\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt{33}}(2,0,-3,2,4),\qquad u_3=\frac{1}{\sqrt{187}}(6,11,2,-5,1).
São ortonormais (verificação rápida: cada um tem norma 1 e produtos escalares pares são 0 por construção).

Passo 3

Determinar uma base ortonormal de [W^\perp).
  1. Primeiro achar W^\perp resolvendo o sistema
\langle w_1,x\rangle=0,\quad \langle w_2,x\rangle=0,\quad \langle w_3,x\rangle=0,
com x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5).
Escrevendo cada equação:
\begin{cases} x_1 + x_4 - x_5 =0,\\[4pt] x_1 - x_3 + x_4 + x_5 =0,\\[4pt] x_1 + x_2 =0. \end{cases}
Da terceira equação x_2=-x_1\]. Da primeira \(x_4=-x_1+x_5. Substituindo na segunda:
x_1 - x_3 + (-x_1+x_5) + x_5 =0 \quad\Rightarrow\quad -x_3 + 2x_5=0\Rightarrow x_3=2x_5.
Logo as incógnitas podem ser parametrizadas por a=x_1 e b=x_5:
x=(a,-a,2b,-a+b,b)=a(1,-1,0,-1,0)+b(0,0,2,1,1).
Portanto \dim W^\perp=2 e uma base (não ortonormal) é
v_4=(1,-1,0,-1,0),\qquad v_5=(0,0,2,1,1).
  1. Aplicar Gram–Schmidt a \{v_4,v_5\} para obter ortonormalidade:
  • Norma de v_4: \|v_4\|^2=1+1+0+1+0=3. Então e_4=v_4/\sqrt{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,-1,0).
  • Projetar v_5 em e_4: \langle v_5,v_4\rangle = -1. Assim projeção é \dfrac{\langle v_5,v_4\rangle}{\|v_4\|^2}v_4 = -\dfrac{1}{3}v_4.
  • Subtraindo: y = v_5 -\Big(-\frac{1}{3}v_4\Big)= v_5+\frac{1}{3}v_4=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},2,\frac{2}{3},1\right).Multiplicando por 3 fica (1,-1,6,2,3).
  • Norma ao quadrado de (1,-1,6,2,3) é 1+1+36+4+9=51. Logo vetor unitário associado é e_5=\frac{(1,-1,6,2,3)}{\sqrt{51}}.
Portanto uma base ortonormal de W^\perp é
u_4=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,-1,0),\qquad u_5=\frac{1}{\sqrt{51}}(1,-1,6,2,3).]

Passo 4

Calcular a matriz da projeção ortogonal \operatorname{proj}_W na base canônica.
Fato usado: se \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortonormal de W (como obtida no Passo 2), então a matriz da projeção ortogonal é
P=\sum_{k=1}^3 u_k u_k^{T}.
Para facilitar a conta escrevi u_k=\dfrac{z_k}{\sqrt{\alpha_k}} com vetores inteiros z_k e \alpha_k=\|z_k\|^2:
z_1=(1,0,0,1,-1),\\ \alpha_1=3;\qquad z_2=(2,0,-3,2,4),\\ \alpha_2=33;\qquad z_3=(6,11,2,-5,1),\\ \alpha_3=187.
Então
P=\frac{1}{3}z_1 z_1^{T}+\frac{1}{33}z_2 z_2^{T}+\frac{1}{187}z_3 z_3^{T}.
Agora some as contribuições componente a componente (faço só uma ou duas entradas detalhadas como exemplo e depois apresento a matriz inteira já somada):
Exemplo de cálculo de (1,1)-entrada:
P_{11}=\frac{1}{3}\cdot 1^2 + \frac{1}{33}\cdot 2^2 + \frac{1}{187}\cdot 6^2 = \frac{1}{3}+\frac{4}{33}+\frac{36}{187} = \frac{121}{187}.
Similarmente para todas as entradas (as contas seguem a mesma ideia; cada termo vem do produto das coordenadas correspondentes nos vetores z_k escalado por 1/\alpha_k).
Somando tudo obtém-se a matriz 5\times5 (cada entrada apresentada como fração sobre 187 quando conveniente, simplificada):
P=\begin{pmatrix} \frac{121}{187} & \frac{66}{187} & -\frac{22}{187} & \frac{55}{187} & -\frac{11}{187}\\[4pt] \frac{66}{187} & \frac{121}{187} & \frac{22}{187} & -\frac{55}{187} & \frac{11}{187}\\[4pt] -\frac{22}{187} & \frac{22}{187} & \frac{55}{187} & -\frac{44}{187} & -\frac{66}{187}\\[4pt] \frac{55}{187} & -\frac{55}{187} & -\frac{44}{187} & \frac{110}{187} & -\frac{22}{187}\\[4pt] -\frac{11}{187} & \frac{11}{187} & -\frac{66}{187} & -\frac{22}{187} & \frac{154}{187} \end{pmatrix}.
Verificações rápidas (que dão confiança): P é simétrica e P^2=P (projeção). A soma das entradas diagonais (traço) é \frac{121+121+55+110+154}{187}=\frac{561}{187}=3, que coincide com \dim W=3.]

Resposta

(a) \displaystyle u_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,0,1,-1),\quad u_2=\frac{1}{\sqrt{33}}(2,0,-3,2,4),\quad u_3=\frac{1}{\sqrt{187}}(6,11,2,-5,1)
(b) \displaystyle u_4=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,-1,0),\quad u_5=\frac{1}{\sqrt{51}}(1,-1,6,2,3)
(c) \displaystyle \operatorname{Mat}_{\text{can}}(\operatorname{proj}_W)= \begin{pmatrix} \frac{121}{187} & \frac{66}{187} & -\frac{22}{187} & \frac{55}{187} & -\frac{11}{187}\\[4pt] \frac{66}{187} & \frac{121}{187} & \frac{22}{187} & -\frac{55}{187} & \frac{11}{187}\\[4pt] -\frac{22}{187} & \frac{22}{187} & \frac{55}{187} & -\frac{44}{187} & -\frac{66}{187}\\[4pt] \frac{55}{187} & -\frac{55}{187} & -\frac{44}{187} & \frac{110}{187} & -\frac{22}{187}\\[4pt] -\frac{11}{187} & \frac{11}{187} & -\frac{66}{187} & -\frac{22}{187} & \frac{154}{187} \end{pmatrix}.]

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