(2,0 pontos) Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade final.
- Conjunto
: . Ou seja, é o conjunto das matrizes simétricas. - Conjunto
: . Ou seja, é o conjunto das matrizes antissimétricas (ou enviesadas). - O enunciado afirma que
e são subespaços de . - O que se pede: mostrar que
é igual à soma direta de e (ou seja, cada matriz é soma de uma simétrica com uma antissimétrica, e essa decomposição é única). Em notação habitual, mostrar .
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos provar, sem ainda calcular):
Para provar que precisamos mostrar duas coisas:
Para provar que
- Soma: todo
pode ser escrito como com e . (Isto prova que .) - Intersecção trivial:
. (Isto garante unicidade da decomposição e faz a soma ser direta.)
Vou construir explicitamente
e
a partir de uma
qualquer e verificar as propriedades. Também vou justificar por que a decomposição é única.
Passo 3
Construção explícita de
e
. Para uma matriz qualquer
defina
Aqui usei operações lineares simples (adição, transposta e multiplicação por escalar
). Agora vou verificar que
é simétrica,
é antissimétrica, e que
.
Passo 4
Verificação de que
é simétrica:
Expliquei aqui a propriedade usada: a transposta é linear, ou seja,
e
para escalar
. Assim
, portanto
.
Passo 5
Verificação de que
é antissimétrica:
Portanto
, isto é,
.
Passo 6
Verificação de que
:
Logo qualquer
é soma de um simétrico
e de um antissimétrico
. Isso mostra
.
Passo 7
Provar que a intersecção é apenas a matriz zero (unicidade). Seja
. Então
é simétrica e antissimétrica ao mesmo tempo, logo
Somando as duas igualdades obtemos
, ou seja,
. Como estamos em
sobre
, isso implica
. Portanto
.
Passo 8
Conclusão e comentário final (didático):
Mostramos que todo se decompõe como
com
e
, e que essa decomposição é única porque a intersecção é trivial. Assim a soma é direta e preenche todo o espaço de matrizes.
Mostramos que todo
Como comentário extra e reforço: a construção
e
é a receita prática que se usa numa prova ou na prova prática da prova: pegue a sua matriz, some com a transposta e divida por dois para obter a parte simétrica; subtraia a transposta e divida por dois para obter a parte antissimétrica. Exemplo rápido: para
,