(2,0 pontos) Sejam U=\left\{A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) ; A^{t}=A\right\} e W=\left\{B \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) ; B^{t}=-B\right\} subespaços vetoriais de \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}). Mostre que \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})=U \otimes W.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade final.
  • Conjunto U: U=\{A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid A^{t}=A\}. Ou seja, U é o conjunto das matrizes simétricas.
  • Conjunto W: W=\{B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid B^{t}=-B\}. Ou seja, W é o conjunto das matrizes antissimétricas (ou enviesadas).
  • O enunciado afirma que U e W são subespaços de \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}).
  • O que se pede: mostrar que \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) é igual à soma direta de U e W (ou seja, cada matriz é soma de uma simétrica com uma antissimétrica, e essa decomposição é única). Em notação habitual, mostrar \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})=U\oplus W.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos provar, sem ainda calcular):
Para provar que \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})=U\oplus W precisamos mostrar duas coisas:
  1. Soma: todo A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) pode ser escrito como A=S+T com S\in U e T\in W. (Isto prova que U+W=\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}).)
  2. Intersecção trivial: U\cap W=\{0\}. (Isto garante unicidade da decomposição e faz a soma ser direta.)
Vou construir explicitamente S e T a partir de uma A qualquer e verificar as propriedades. Também vou justificar por que a decomposição é única.

Passo 3

Construção explícita de S e T. Para uma matriz qualquer A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) defina
S=\frac{A+A^{t}}{2}, \qquad T=\frac{A-A^{t}}{2}.
Aqui usei operações lineares simples (adição, transposta e multiplicação por escalar 1/2). Agora vou verificar que S é simétrica, T é antissimétrica, e que A=S+T.

Passo 4

Verificação de que S é simétrica:
S^{t}=\Big(\frac{A+A^{t}}{2}\Big)^{t}=\frac{A^{t}+(A^{t})^{t}}{2}=\frac{A^{t}+A}{2}=S.
Expliquei aqui a propriedade usada: a transposta é linear, ou seja, (X+Y)^{t}=X^{t}+Y^{t} e (cX)^{t}=cX^{t} para escalar c. Assim S^{t}=S, portanto S\in U.

Passo 5

Verificação de que T é antissimétrica:
T^{t}=\Big(\frac{A-A^{t}}{2}\Big)^{t}=\frac{A^{t}-(A^{t})^{t}}{2}=\frac{A^{t}-A}{2}=-\frac{A-A^{t}}{2}=-T.
Portanto T^{t}=-T, isto é, T\in W.

Passo 6

Verificação de que A=S+T:
S+T=\frac{A+A^{t}}{2}+\frac{A-A^{t}}{2}=\frac{2A}{2}=A.
Logo qualquer A é soma de um simétrico S e de um antissimétrico T. Isso mostra U+W=\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}).

Passo 7

Provar que a intersecção é apenas a matriz zero (unicidade). Seja X\in U\cap W. Então X é simétrica e antissimétrica ao mesmo tempo, logo
X^{t}=X \quad\text{e}\quad X^{t}=-X.
Somando as duas igualdades obtemos X+X=0, ou seja, 2X=0. Como estamos em \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) sobre \mathbb{R}, isso implica X=0. Portanto U\cap W=\{0\}.

Passo 8

Conclusão e comentário final (didático):
Mostramos que todo A se decompõe como A=S+T com S\in U e T\in W, e que essa decomposição é única porque a intersecção é trivial. Assim a soma é direta e preenche todo o espaço de matrizes.
Como comentário extra e reforço: a construção S=\dfrac{A+A^{t}}{2} e T=\dfrac{A-A^{t}}{2} é a receita prática que se usa numa prova ou na prova prática da prova: pegue a sua matriz, some com a transposta e divida por dois para obter a parte simétrica; subtraia a transposta e divida por dois para obter a parte antissimétrica. Exemplo rápido: para \displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},
S=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2a & b+c\\\ b+c & 2d\end{pmatrix},\qquad T=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & b-c\\\ c-b & 0\end{pmatrix}.

Resposta

\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})=U\oplus W

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