4 - Considere uma espira quadrada de lado
percorrida por uma corrente
e inicialmente com a face voltada para o eixo +x . Essa espira está colocada na presença de um campo magnético uniforme dado por
. (a) Calcule as forças em cada lado da espira e (b) o torque resultante sobre essa espira.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira quadrada de lado $ L = 1 , m $ com uma corrente de $ I = 2 , mA $. Essa espira está colocada num campo magnético uniforme $ \mathbf{B} = 2.6,\mathbf{k} + 0.5,\mathbf{j} , T $. O problema pede para calcular as forças em cada lado da espira e o torque resultante sobre ela. Vamos usar conceitos de força magnética e torque em circuitos magnéticos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a força magnética age sobre um fio que transporta corrente. A força magnética $ \mathbf{F} $ em um trecho de fio é dada pela fórmula:
Aqui, $ I $ é a corrente, $ \mathbf{L} $ é o vetor comprimento do fio (com direção na direção da corrente) e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. O símbolo $ \times $ representa o produto vetorial, que nos dá a direção da força.
Passo 3
Vamos analisar cada lado da espira quadrada. Como é uma espira quadrada, temos 4 lados, cada um com comprimento $ L = 1 , m $. Vamos considerar a orientação inicial da espira voltada para o eixo +x. Assim, os vetores $ \mathbf{L} $ para cada lado são:
- Lado 1: ao longo do eixo +x, $ \mathbf{L}_1 = 1,\mathbf{i} , m $
- Lado 2: ao longo do eixo +y, $ \mathbf{L}_2 = 1,\mathbf{j} , m $
- Lado 3: ao longo do eixo -x, $ \mathbf{L}_3 = -1,\mathbf{i} , m $
- Lado 4: ao longo do eixo -y, $ \mathbf{L}_4 = -1,\mathbf{j} , m $
Agora, vamos calcular a força em cada lado usando $ \mathbf{F} = I , \mathbf{L} \times \mathbf{B} $.
Passo 4
Calculando as forças:
- Força no Lado 1:
- Força no Lado 2:
- Força no Lado 3:
- Força no Lado 4:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as forças:
- Força no Lado 1:
- Força no Lado 2:
- Força no Lado 3:
- Força no Lado 4:
Percebemos que as forças nos lados opostos se cancelam nas componentes $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $, mas as componentes $ \mathbf{k} $ somam.
Passo 6
Resposta para a parte (a):
As forças em cada lado da espira são:
As forças em cada lado da espira são:
Passo 7
Agora, vamos calcular o torque resultante. O torque $ \boldsymbol{\tau} $ em uma espira é dado por:
Onde $ \mathbf{m} $ é o momento magnético da espira, calculado por:
E $ \mathbf{A} $ é o vetor área da espira, perpendicular à face da espira.
Passo 8
Vamos determinar o vetor área $ \mathbf{A} $. A espira está inicialmente voltada para o eixo +x, então o vetor área aponta na direção do eixo +x. Como a área de uma espira quadrada é $ A = L^2 $, temos:
Então, o momento magnético é:
Passo 9
Agora, calculamos o torque:
Resposta
(a) As forças em cada lado da espira são:
(b) O torque resultante sobre a espira é: