4 - Considere uma espira quadrada de lado L=1 m percorrida por uma corrente I=2 mA e inicialmente com a face voltada para o eixo +x . Essa espira está colocada na presença de um campo magnético uniforme dado por B=2.6 k+0.5 j T. (a) Calcule as forças em cada lado da espira e (b) o torque resultante sobre essa espira.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira quadrada de lado $ L = 1 , m $ com uma corrente de $ I = 2 , mA $. Essa espira está colocada num campo magnético uniforme $ \mathbf{B} = 2.6,\mathbf{k} + 0.5,\mathbf{j} , T $. O problema pede para calcular as forças em cada lado da espira e o torque resultante sobre ela. Vamos usar conceitos de força magnética e torque em circuitos magnéticos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força magnética age sobre um fio que transporta corrente. A força magnética $ \mathbf{F} $ em um trecho de fio é dada pela fórmula:
F
Aqui, $ I $ é a corrente, $ \mathbf{L} $ é o vetor comprimento do fio (com direção na direção da corrente) e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. O símbolo $ \times $ representa o produto vetorial, que nos dá a direção da força.

Passo 3

Vamos analisar cada lado da espira quadrada. Como é uma espira quadrada, temos 4 lados, cada um com comprimento $ L = 1 , m $. Vamos considerar a orientação inicial da espira voltada para o eixo +x. Assim, os vetores $ \mathbf{L} $ para cada lado são:
  1. Lado 1: ao longo do eixo +x, $ \mathbf{L}_1 = 1,\mathbf{i} , m $
  2. Lado 2: ao longo do eixo +y, $ \mathbf{L}_2 = 1,\mathbf{j} , m $
  3. Lado 3: ao longo do eixo -x, $ \mathbf{L}_3 = -1,\mathbf{i} , m $
  4. Lado 4: ao longo do eixo -y, $ \mathbf{L}_4 = -1,\mathbf{j} , m $
Agora, vamos calcular a força em cada lado usando $ \mathbf{F} = I , \mathbf{L} \times \mathbf{B} $.

Passo 4

Calculando as forças:
  1. Força no Lado 1:
F1 = I , L1 times B = 2 times 10^-3 , A times (1,i) times (2.6,k + 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (i times 2.6,k + i times 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (-2.6,j + 0.5,k) , N
  1. Força no Lado 2:
F2 = I , L2 times B = 2 times 10^-3 , j times (2.6,k + 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (j times 2.6,k + j times 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (2.6,i + 0,k) , N
  1. Força no Lado 3:
F3 = I , L3 times B = 2 times 10^-3 , (-i) times (2.6,k + 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (-i times 2.6,k - i times 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (2.6,j - 0.5,k) , N
  1. Força no Lado 4:
F4 = I , L4 times B = 2 times 10^-3 , (-j) times (2.6,k + 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (-j times 2.6,k - j times 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (-2.6,i + 0,k) , N

Passo 5

Agora, vamos simplificar as forças:
  1. Força no Lado 1:
F1 = (-5.2,j + 1.0,k) times 10^-3 , N
  1. Força no Lado 2:
F2 = (5.2,i) times 10^-3 , N
  1. Força no Lado 3:
F3 = (5.2,j - 1.0,k) times 10^-3 , N
  1. Força no Lado 4:
F4 = (-5.2,i) times 10^-3 , N
Percebemos que as forças nos lados opostos se cancelam nas componentes $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $, mas as componentes $ \mathbf{k} $ somam.

Passo 6

Resposta para a parte (a):
As forças em cada lado da espira são:
F1 = (-5.2,j + 1.0,k) times 10^-3 , N
F2 = 5.2,i times 10^-3 , N
F3 = (5.2,j - 1.0,k) times 10^-3 , N
F4 = -5.2,i times 10^-3 , N

Passo 7

Agora, vamos calcular o torque resultante. O torque $ \boldsymbol{\tau} $ em uma espira é dado por:
tau
Onde $ \mathbf{m} $ é o momento magnético da espira, calculado por:
tau = m times B
E $ \mathbf{A} $ é o vetor área da espira, perpendicular à face da espira.

Passo 8

Vamos determinar o vetor área $ \mathbf{A} $. A espira está inicialmente voltada para o eixo +x, então o vetor área aponta na direção do eixo +x. Como a área de uma espira quadrada é $ A = L^2 $, temos:
A
Então, o momento magnético é:
A = L^2

Passo 9

Agora, calculamos o torque:
tau = m times B = 2 times 10^-3,i times (2.6,k + 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (i times 2.6,k + i times 0.5,j)
= 2 times 10^-3 , (2.6,j - 0.5,k) , Ncdotm

Resposta

(a) As forças em cada lado da espira são:
F1 = (-5.2,j + 1.0,k) times 10^-3 , N
F2 = 5.2,i times 10^-3 , N
F3 = (5.2,j - 1.0,k) times 10^-3 , N
F4 = -5.2,i times 10^-3 , N
(b) O torque resultante sobre a espira é:
tau = (5.2,j - 0.5,k) times 10^-3 , Ncdotm

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