2 - (a) Escreva as equações de Maxwell na forma diferencial em termos dos campos E e B. (b) Use o teorema da divergência e de Stokes para escrevê-las na forma integral. © Partindo das equações de Maxwell no vácuo, mostre que elas dão origem à equação da onda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre as equações de Maxwell! A questão está dividida em três partes:
(a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial usando os campos elétrico (E) e magnético (B).
(b) Usar o teorema da divergência e o teorema de Stokes para transformar essas equações na forma integral.
© Partindo das equações de Maxwell no vácuo, mostrar que elas levam à equação da onda.
(a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial usando os campos elétrico (E) e magnético (B).
(b) Usar o teorema da divergência e o teorema de Stokes para transformar essas equações na forma integral.
© Partindo das equações de Maxwell no vácuo, mostrar que elas levam à equação da onda.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos elétricos e magnéticos, operações vetoriais como divergência e rotacional, além dos teoremas que conectam formas diferenciais e integrais.
Passo 2
Parte (a): Equações de Maxwell na forma diferencial
As equações de Maxwell descrevem como os campos elétrico (E) e magnético (B) se comportam e interagem. Na forma diferencial, elas são expressas usando operadores de calculo vetorial, como divergência (∇·) e rotacional (∇×). Aqui estão as quatro equações de Maxwell nessa forma:
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Lei de Gauss para o campo elétrico:Isso relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga elétrica (ρ).
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Lei de Gauss para o campo magnético:Indica que não existem “cargas magnéticas”, ou seja, os monopolos magnéticos não foram observados.
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Lei de Faraday da indução:Mostra que uma variação no campo magnético ao longo do tempo gera um campo elétrico.
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Lei de Ampère-Maxwell:Relaciona o rotacional do campo magnético com a densidade de corrente elétrica (J) e a taxa de variação do campo elétrico.
Passo 3
Parte (b): Transformando as equações diferenciais em forma integral usando teoremas
Para passar das formas diferenciais para as formas integrais das equações de Maxwell, usamos dois teoremas importantes da matemática:
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Teorema da Divergência (Teorema de Gauss):
Conecta a divergência de um campo vetorial com a integral de fluxo desse campo através de uma superfície fechada. É usado para converter as leis de Gauss para E e B. -
Teorema de Stokes:
Relaciona o rotacional de um campo vetorial com a integral de circulação desse campo ao longo de uma curva fechada. É usado para converter as leis de Faraday e Ampère-Maxwell.
Aplicando esses teoremas, as equações de Maxwell ficam assim na forma integral:
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Lei de Gauss para o campo elétrico (forma integral):Aqui, a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro do volume dividido por ε₀.
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Lei de Gauss para o campo magnético (forma integral):Indica que o fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero.
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Lei de Faraday da indução (forma integral):A circulação do campo elétrico ao redor de uma curva fechada é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície delimitada por essa curva.
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Lei de Ampère-Maxwell (forma integral):A circulação do campo magnético ao redor de uma curva fechada é igual à soma da corrente elétrica que atravessa a superfície e da taxa de variação do fluxo elétrico.
Passo 4
Parte ©: Derivando a equação da onda a partir das equações de Maxwell no vácuo
Para obter a equação da onda a partir das equações de Maxwell, consideramos o vácuo, ou seja, onde não há carga elétrica nem corrente (ρ = 0 e J = 0). Assim, as equações de Maxwell simplificam para:
Agora, vamos focar nas últimas duas equações para derivar a equação da onda. Tomamos o rotacional da segunda equação:
Usando uma identidade vetorial, temos:
Como
, simplifica para:
Substituindo
da quarta equação de Maxwell:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação da onda para o campo elétrico no vácuo. De maneira semelhante, seguindo os mesmos passos para o campo magnético, obtemos:
Resposta
As equações de Maxwell no vácuo levam às equações da onda para os campos elétrico e magnético, dada por:
Isso demonstra que os campos elétrico e magnético se propagam como ondas eletromagnéticas no vácuo.