2 - (a) Escreva as equações de Maxwell na forma diferencial em termos dos campos E e B. (b) Use o teorema da divergência e de Stokes para escrevê-las na forma integral. © Partindo das equações de Maxwell no vácuo, mostre que elas dão origem à equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre as equações de Maxwell! A questão está dividida em três partes:
(a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial usando os campos elétrico (E) e magnético (B).
(b) Usar o teorema da divergência e o teorema de Stokes para transformar essas equações na forma integral.
© Partindo das equações de Maxwell no vácuo, mostrar que elas levam à equação da onda.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos elétricos e magnéticos, operações vetoriais como divergência e rotacional, além dos teoremas que conectam formas diferenciais e integrais.

Passo 2

Parte (a): Equações de Maxwell na forma diferencial
As equações de Maxwell descrevem como os campos elétrico (E) e magnético (B) se comportam e interagem. Na forma diferencial, elas são expressas usando operadores de calculo vetorial, como divergência (∇·) e rotacional (∇×). Aqui estão as quatro equações de Maxwell nessa forma:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    nabla cdot E = rhovarepsilon0
    Isso relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga elétrica (ρ).
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    nabla cdot B = 0
    Indica que não existem “cargas magnéticas”, ou seja, os monopolos magnéticos não foram observados.
  3. Lei de Faraday da indução:
    nabla times E = -partial Bpartial t
    Mostra que uma variação no campo magnético ao longo do tempo gera um campo elétrico.
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
    Relaciona o rotacional do campo magnético com a densidade de corrente elétrica (J) e a taxa de variação do campo elétrico.

Passo 3

Parte (b): Transformando as equações diferenciais em forma integral usando teoremas
Para passar das formas diferenciais para as formas integrais das equações de Maxwell, usamos dois teoremas importantes da matemática:
  1. Teorema da Divergência (Teorema de Gauss):
    Conecta a divergência de um campo vetorial com a integral de fluxo desse campo através de uma superfície fechada. É usado para converter as leis de Gauss para E e B.
  2. Teorema de Stokes:
    Relaciona o rotacional de um campo vetorial com a integral de circulação desse campo ao longo de uma curva fechada. É usado para converter as leis de Faraday e Ampère-Maxwell.
Aplicando esses teoremas, as equações de Maxwell ficam assim na forma integral:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico (forma integral):
    ointpartial V E cdot dA = 1varepsilon0 integralV rho , dV
    Aqui, a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro do volume dividido por ε₀.
  2. Lei de Gauss para o campo magnético (forma integral):
    ointpartial V B cdot dA = 0
    Indica que o fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero.
  3. Lei de Faraday da indução (forma integral):
    ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
    A circulação do campo elétrico ao redor de uma curva fechada é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície delimitada por essa curva.
  4. Lei de Ampère-Maxwell (forma integral):
    ointpartial S B cdot dl = mu0 integralS J cdot dA + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
    A circulação do campo magnético ao redor de uma curva fechada é igual à soma da corrente elétrica que atravessa a superfície e da taxa de variação do fluxo elétrico.

Passo 4

Parte ©: Derivando a equação da onda a partir das equações de Maxwell no vácuo
Para obter a equação da onda a partir das equações de Maxwell, consideramos o vácuo, ou seja, onde não há carga elétrica nem corrente (ρ = 0 e J = 0). Assim, as equações de Maxwell simplificam para:
  1. nabla cdot E = 0
  2. nabla cdot B = 0
  3. nabla times E = -partial Bpartial t
  4. nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Agora, vamos focar nas últimas duas equações para derivar a equação da onda. Tomamos o rotacional da segunda equação:
nabla times (nabla times E) = nabla times ( -partial Bpartial t )
Usando uma identidade vetorial, temos:
nabla times (nabla times E) = nabla(nabla cdot E) - nabla^2 E
Como nabla cdot E = 0, simplifica para:
- nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)
Substituindo nabla times B da quarta equação de Maxwell:
- nabla^2 E = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Rearranjando os termos:
nabla^2 E = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Essa é a equação da onda para o campo elétrico no vácuo. De maneira semelhante, seguindo os mesmos passos para o campo magnético, obtemos:
nabla^2 B = mu0 varepsilon0 partial^2 Bpartial t^2

Resposta

As equações de Maxwell no vácuo levam às equações da onda para os campos elétrico e magnético, dada por:
nabla^2 E = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
nabla^2 B = mu0 varepsilon0 partial^2 Bpartial t^2
Isso demonstra que os campos elétrico e magnético se propagam como ondas eletromagnéticas no vácuo.

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