Considere os eventos:
A =
C = Calcule as probabilidades desses eventos definindo um espaço de probabilidade a partir de:
i)
ii)
, onde
e
denotam a ocorrência de face par e ímpar, respectivamente.
Comente sobre as vantagens de utilizar um ou outro espaço amostral.
A =
i)
ii)
Comente sobre as vantagens de utilizar um ou outro espaço amostral.
Passo 1
Resumo do enunciado
– Temos três eventos genéricos A, B e C sobre o lançamento de dois dados.
– Queremos calcular P(A), P(B) e P© de duas maneiras, usando dois espaços amostrais diferentes:
– Temos três eventos genéricos A, B e C sobre o lançamento de dois dados.
– Queremos calcular P(A), P(B) e P© de duas maneiras, usando dois espaços amostrais diferentes:
- Ω₁ = { (ω₁, ω₂) ∣ ω₁, ω₂ ∈ {1,2,3,4,5,6} }
- Ω₂ = { (p,p), (p,i), (i,p), (i,i) }, onde “p” = face par e “i” = face ímpar.
Conteúdo da matéria: probabilidade clássica em espaços finitos equiprováveis.
O que vamos precisar: contar quantos resultados favoráveis existem em cada espaço e dividir pelo total de elementos.
Passo 2
Definindo o espaço de probabilidade em Ω₁
– Ω₁ tem 6×6 = 36 resultados igualmente prováveis.
– Logo, para qualquer evento E ⊆ Ω₁,
– Ω₁ tem 6×6 = 36 resultados igualmente prováveis.
– Logo, para qualquer evento E ⊆ Ω₁,
Passo 3
Definindo o espaço de probabilidade em Ω₂
– Em cada dado há 3 faces pares e 3 ímpares, logo P§=P(i)=½.
– Os pares (p,p),(p,i),(i,p),(i,i) ocorrem com probabilidade ½×½=¼ cada.
– Para qualquer evento F ⊆ Ω₂,
– Em cada dado há 3 faces pares e 3 ímpares, logo P§=P(i)=½.
– Os pares (p,p),(p,i),(i,p),(i,i) ocorrem com probabilidade ½×½=¼ cada.
– Para qualquer evento F ⊆ Ω₂,
Passo 4
Cálculo das probabilidades de A, B e C
– No espaço Ω₁:
P₁(A)=|A|/36, P₁(B)=|B|/36, P₁©=|C|/36.
– No espaço Ω₂:
P₂(A)=|A∩Ω₂|/4, P₂(B)=|B∩Ω₂|/4, P₂©=|C∩Ω₂|/4.
(Aqui |A∩Ω₂| é o número de pares de par/ímpar que realizam A.)
– No espaço Ω₁:
P₁(A)=|A|/36, P₁(B)=|B|/36, P₁©=|C|/36.
– No espaço Ω₂:
P₂(A)=|A∩Ω₂|/4, P₂(B)=|B∩Ω₂|/4, P₂©=|C∩Ω₂|/4.
(Aqui |A∩Ω₂| é o número de pares de par/ímpar que realizam A.)
Passo 5
Vantagens de cada espaço
– Ω₁ (36 resultados) dá informação completa sobre valores exatos dos dados, mas exige contar até 36 casos.
– Ω₂ (4 resultados) reduz drasticamente o tamanho, facilitando contas quando só importa paridade, mas perde detalhes (não reconhece, por exemplo, que 2≠4 dentro de “p”).
– Ω₁ (36 resultados) dá informação completa sobre valores exatos dos dados, mas exige contar até 36 casos.
– Ω₂ (4 resultados) reduz drasticamente o tamanho, facilitando contas quando só importa paridade, mas perde detalhes (não reconhece, por exemplo, que 2≠4 dentro de “p”).
Resposta
Para cada evento E ∈ {A,B,C}:
Vantagem de Ω₁: precisão em todos os eventos;
vantagem de Ω₂: simplicidade quando só interessa paridade.
vantagem de Ω₂: simplicidade quando só interessa paridade.