a) P(A cup B) <= 3 / 4.
b) 1 / 8 <= P(A cap B) <= 3 / 8.

Passo 1

Resumo do que temos e do que vamos usar
Neste exercício tem duas partes:
(a) suponha que P(A)+P(B) ≤ 3/4; mostre que P(A ∪ B) ≤ 3/4.
(b) suponha que P(A)+P(B) = 9/8 e que min{P(A),P(B)} = 3/8; ache os limites de P(A ∩ B).
Conteúdo-chave:
  • Regra da inclusão-exclusão:
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
  • Axiomas de probabilidade implicam
    0 ≤ P(A ∩ B) ≤ min{P(A),P(B)}
    P(A ∩ B) ≥ P(A)+P(B) – 1

Passo 2

Resolvendo a) P(A ∪ B) ≤ 3/4
  1. Pela inclusão-exclusão:
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
  2. Como toda probabilidade é não negativa, P(A ∩ B) ≥ 0.
  3. Logo
    P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ≤ 3/4
    (pela hipótese P(A)+P(B) ≤ 3/4).

Passo 3

Resolvendo b) limites para P(A ∩ B)
  1. Pelo axioma de subaditividade (ou pela inclusão-exclusão com P(A ∪ B) ≤ 1) temos:
    P(A ∩ B) ≥ P(A)+P(B) – 1.
  2. E, via monotonicidade, também vale
    P(A ∩ B) ≤ min{P(A),P(B)}.
  3. Substituindo a hipótese P(A)+P(B)=9/8 e min{P(A),P(B)}=3/8:
    – Limite inferior: 9/8 – 1 = 1/8
    – Limite superior: 3/8

Resposta

a) P(A ∪ B) ≤ 3/4
b) 1/8 ≤ P(A ∩ B) ≤ 3/8

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