a)
.
b)
.
b)
Passo 1
Resumo do que temos e do que vamos usar
Neste exercício tem duas partes:
(a) suponha que P(A)+P(B) ≤ 3/4; mostre que P(A ∪ B) ≤ 3/4.
(b) suponha que P(A)+P(B) = 9/8 e que min{P(A),P(B)} = 3/8; ache os limites de P(A ∩ B).
Neste exercício tem duas partes:
(a) suponha que P(A)+P(B) ≤ 3/4; mostre que P(A ∪ B) ≤ 3/4.
(b) suponha que P(A)+P(B) = 9/8 e que min{P(A),P(B)} = 3/8; ache os limites de P(A ∩ B).
Conteúdo-chave:
- Regra da inclusão-exclusão:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) - Axiomas de probabilidade implicam
0 ≤ P(A ∩ B) ≤ min{P(A),P(B)}
P(A ∩ B) ≥ P(A)+P(B) – 1
Passo 2
Resolvendo a) P(A ∪ B) ≤ 3/4
- Pela inclusão-exclusão:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). - Como toda probabilidade é não negativa, P(A ∩ B) ≥ 0.
- Logo
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ≤ 3/4
(pela hipótese P(A)+P(B) ≤ 3/4).
Passo 3
Resolvendo b) limites para P(A ∩ B)
- Pelo axioma de subaditividade (ou pela inclusão-exclusão com P(A ∪ B) ≤ 1) temos:
P(A ∩ B) ≥ P(A)+P(B) – 1. - E, via monotonicidade, também vale
P(A ∩ B) ≤ min{P(A),P(B)}. - Substituindo a hipótese P(A)+P(B)=9/8 e min{P(A),P(B)}=3/8:
– Limite inferior: 9/8 – 1 = 1/8
– Limite superior: 3/8
Resposta
a) P(A ∪ B) ≤ 3/4
b) 1/8 ≤ P(A ∩ B) ≤ 3/8
b) 1/8 ≤ P(A ∩ B) ≤ 3/8