Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por:
f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x+1, \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x, \text { se } x>1 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1,\\ \text{se } x\le 1,\\[4pt] 2x,\\ \text{se } x>1. \end{array}\right.
Para essa função vou responder as perguntas naturais que costumam cair em prova sobre funções definidas por partes (vou fazer tudo sem perguntar nada a você):
  • (a) Calcular os limites laterais em x=1 e verificar se f é contínua em x=1 (e, por consequência, em toda a reta).
  • (b) Calcular a derivada de f para x<1 e x>1, e verificar se f é diferenciável em x=1.
  • (c) Estudar monotonicidade (se é crescente/decrescente), concluir sobre injetividade e encontrar a inversa f^{-1} quando existir.
    Essas são as informações relevantes que o enunciado dá (a própria definição por partes) e as perguntas que vou resolver.]

Passo 2

Limites laterais em x=1 e valor f(1).
Primeiro, pegando a definição da própria função:
  • Para x\le 1 temos f(x)=x+1. Portanto, o limite pela esquerda em 1 é
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-}(x+1)=1+1=2.
  • Para x>1 temos f(x)=2x. Portanto, o limite pela direita em 1 é
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} 2x = 2\cdot 1=2.
  • O valor da função em x=1 vem da cláusula x\le 1, logo
f(1)=1+1=2.
Explicando a ideia: uma função é contínua num ponto se o limite (quando x se aproxima desse ponto) existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Aqui os limites lateral esquerdo e direito coincidem e valem 2, e f(1)=2. Assim concluímos no próximo passo.

Passo 3

Conclusão sobre continuidade em x=1 e em \mathbb{R}.
Como
\lim_{x\to1^-} f(x)=2=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1),
seguindo a definição de continuidade, f é contínua em x=1. As duas fórmulas que definem f (retas x+1 e 2x) são contínuas para todos os x nas suas regiões. Portanto, f é contínua em todo \mathbb{R}.
Breve lembrete didático: quando uma função é definida por partes, para ser contínua em todo o domínio basta que cada pedaço seja contínuo nas suas regiões e que as peças “batam” no ponto de junção (os limites laterais coincidirem e igualarem o valor).

Passo 4

Derivadas em x<1 e x>1.
Calculemos a derivada em cada ramo usando regras simples:
  • Para x<1 temos f(x)=x+1. A derivada de x+1 é a constante 1. Ou seja, para x<1,
f'(x)=1.
  • Para x>1 temos f(x)=2x. A derivada de 2x é a constante 2. Ou seja, para x>1,
f'(x)=2.
Explicando: a derivada de uma função linear ax+b é a. Aqui a=1 no primeiro ramo e a=2 no segundo ramo.

Passo 5

Verificação da diferenciabilidade em x=1.
Definição prática usada em provas: uma função diferenciável em um ponto tem derivadas laterais iguais. Calculamos as derivadas laterais em 1:
  • Derivada à esquerda em 1 (usando o ramo x+1) é 1.
  • Derivada à direita em 1 (usando o ramo 2x) é 2.
Como 1\neq 2, as derivadas laterais não coincidem. Logo f NÃO é diferenciável em x=1.
Para reforçar a intuição: a derivada mede a inclinação da reta tangente. À esquerda a inclinação vale 1, à direita vale 2; há um “canto” na função em x=1, portanto não existe uma única tangente ali.

Passo 6

Monotonicidade e injetividade.
Analise por pedaços:
  • No ramo x\le 1, f(x)=x+1 tem derivada 1>0, portanto é estritamente crescente nessa região.
  • No ramo x>1, f(x)=2x tem derivada 2>0, portanto é estritamente crescente nessa região também.
Falta verificar pares x_1<x_2 com x_1\le 1<x_2. Tome x_1\le 1<x_2. Então
f(x_1)=x_1+1 \le 1+1=2
(e a igualdade ocorre só se x_1=1), enquanto
f(x_2)=2x_2>2
porque x_2>1. Portanto sempre f(x_1)<f(x_2). Assim f é estritamente crescente em toda \mathbb{R}.
Conclusão: função estritamente crescente implica injetiva (ou seja, admite inversa sobre a imagem).

Passo 7

Encontrar a inversa f^{-1} e propriedades da inversa.
Para achar f^{-1}, resolvemos y=f(x) por casos e expressamos x em função de y.
Caso 1: se a solução vier do ramo x\le 1, então y=x+1. Resolvend o para x:
x=y-1.
Mas esse x só é válido se x\le 1, isto é se y-1\le 1, ou seja se y\le 2.
Caso 2: se a solução vier do ramo x>1, então y=2x. Resolvend o para x:
x=\frac{y}{2}.
Esse x é válido só se x>1, isto é se \dfrac{y}{2}>1, ou seja y>2.
Juntando os dois casos, a inversa é a função f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} (nota: a imagem de f é todo \mathbb{R} porque os ramos cobrem todos os y; verificar rapidamente: para x\le1 y=x+1 atinge (-\infty,2] e para x>1 y=2x atinge (2,\infty); portanto a imagem é \mathbb{R}) dada por
f^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{l} y-1,\\ \text{se } y\le 2,\\[4pt] \dfrac{y}{2},\\ \text{se } y>2. \end{array}\right.
Propriedades da inversa no ponto y=2: é contínua em y=2 porque os dois pedaços coincidem em 2 (ambos dão 1). Derivadas laterais: para y<2 a derivada de y-1 é 1; para y>2 a derivada de y/2 é 1/2. Como 1\neq 1/2, f^{-1} não é diferenciável em y=2.]

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}.
f é diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{1\} e não é diferenciável em x=1.
f é estritamente crescente (logo injetiva) em \mathbb{R}.
f'(x)=\left\{\begin{array}{l} 1,\\ \text{se } x<1,\\[4pt] 2,\\ \text{se } x>1, \end{array}\right.
e as derivadas laterais em 1 são 1 (esquerda) e 2 (direita).
Inversa:
f^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{l} y-1,\\ \text{se } y\le 2,\\[4pt] \dfrac{y}{2},\\ \text{se } y>2. \end{array}\right.]

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