Considere f(x)=1+2 x+x^{2}+2 x^{3}+x^{4}+2 x^{5}+\ldots. Encontre o raio de convergência da série dada e calcule uma fórmula explicita para f(x).

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=1+2x+x^{2}+2x^{3}+x^{4}+2x^{5}+\ldots
e pede duas coisas: (1) o raio de convergência da série; (2) uma fórmula explícita para f(x)\). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \[\text{os coeficientes seguem o padrão }1,2,1,2,\ldots
ou seja, se escrevemos f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, então
a_n=\begin{cases}1,&\text{se }n\text{ é par},\\[4pt]2,&\text{se }n\text{ é ímpar}.\end{cases}ééí
Também observe que a série é centrada em 0\] (é uma série de potências em \(x).]

Passo 2

Vamos achar o raio de convergência R. Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n x^n existe a fórmula pelo critério da raiz:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui os coeficientes a_n são sempre 1 ou 2. Note que
\sqrt[n]{1}=1\quad\text{e}\quad\sqrt[n]{2}\to1\\ \text{ quando }n\to\infty,
logo
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1.
Portanto
R=\frac{1}{1}=1.
(Alternativa rápida: separar a série em duas geométricas em x^2 mostra que converge para |x|<1, então o raio também é 1.)

Passo 3

Agora vamos obter uma fórmula explícita para f(x). Separe a soma em termos de potências pares e ímpares. Escrevendo n=2k e n=2k+1 temos
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} \;+\; 2\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}.

Passo 4

Cada uma dessas somas é uma série geométrica. Relembrando a soma da série geométrica: se |r|<1 então
\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}.
Breve justificativa: escreva S=\sum_{k=0}^\infty r^k. Então rS=\sum_{k=1}^\infty r^k. Subtraindo, S-rS=1, logo S(1-r)=1 e S=1/(1-r). Aqui a condição |r|<1 garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge.

Passo 5

Aplicando isso às nossas duas séries, com r=x^2:
\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=\frac{1}{1-x^2}\qquad\text{e}\qquad \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}=x\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=\frac{x}{1-x^2},
válido para |x|<1. Substituindo em f(x):
f(x)=\frac{1}{1-x^2}+2\cdot\frac{x}{1-x^2}=\frac{1+2x}{1-x^2},
para |x|<1.

Passo 6

Podemos apresentar também uma forma em frações parciais, útil para ver singularidades simples:
\frac{1+2x}{1-x^2}=\frac{1+2x}{(1-x)(1+x)}=\frac{3/2}{1-x}-\frac{1/2}{1+x},
obtida resolvendo A+B=1 e A-B=2 (ficando A=3/2, B=-1/2). Isso confirma que as singularidades estão em x=\pm1, coerente com R=1.

Resposta

R=1
\displaystyle f(x)=\frac{1+2x}{1-x^{2}}, para |x|<1

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