Considere
. Encontre o raio de convergência da série dada e calcule uma fórmula explicita para
.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede duas coisas: (1) o raio de convergência da série; (2) uma fórmula explícita para
ou seja, se escrevemos
, então
Também observe que a série é centrada em
).]
Passo 2
Vamos achar o raio de convergência
. Para uma série de potências
existe a fórmula pelo critério da raiz:
Aqui os coeficientes
são sempre
ou
. Note que
logo
Portanto
(Alternativa rápida: separar a série em duas geométricas em
mostra que converge para
, então o raio também é
.)
Passo 3
Agora vamos obter uma fórmula explícita para
. Separe a soma em termos de potências pares e ímpares. Escrevendo
e
temos
Passo 4
Cada uma dessas somas é uma série geométrica. Relembrando a soma da série geométrica: se
então
Breve justificativa: escreva
. Então
. Subtraindo,
, logo
e
. Aqui a condição
garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge.
Passo 5
Aplicando isso às nossas duas séries, com
:
válido para
. Substituindo em
:
para
.
Passo 6
Podemos apresentar também uma forma em frações parciais, útil para ver singularidades simples:
obtida resolvendo
e
(ficando
,
). Isso confirma que as singularidades estão em
, coerente com
.