Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Encontrar uma representação por série de potências centrada em
(ou seja, uma soma da forma ). - Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série obtida.
Informação dada: a expressão algébrica deacima. Não há outras figuras ou dados.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula básica que vamos usar): a série geométrica.
Aqui
é a razão da série geométrica (pode ser qualquer expressão envolvendo
). Essa fórmula vem de manipular a soma finita e tomar limite; é a ferramenta padrão para transformar frações da forma
em séries de potências.
Passo 3
Compare
com a forma
. Podemos escrever
Identificamos
. Aplicando a fórmula da série geométrica com
(válida quando
), obtemos
Passo 4
Multiplicando por
obtemos a série de potências buscada:
Explicando: os termos da série são
. Repare que os coeficientes
são
e
se
não é múltiplo de
.
Passo 5
Determinar o raio de convergência. A condição para a validade da expansão geométrica usada foi
. Isso equivale a
Portanto o raio de convergência é
.
Passo 6
Testar os extremos do intervalo
.
- Para
: a série torna-se , que diverge (os termos não tendem a zero). Além disso é indefinido. - Para
: como , a série também é , que diverge. E é indefinido.
Portanto os extremosnão pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 7
Resumo interpretativo rápido (para você decorar e usar na prova): quando a função é uma constante dividida por
alguma potência de
, tente reconhecer uma série geométrica com
igual àquela potência. Depois verifique
para achar o raio; cheque os extremos separadamente.
Resposta
Intervalo de convergência: