Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
(a) f(x)=\frac{3}{1-x^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
f(x)=\frac{3}{1-x^{4}}.
  1. Encontrar uma representação por série de potências centrada em 0 (ou seja, uma soma da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n).
  2. Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série obtida.
    Informação dada: a expressão algébrica de f(x) acima. Não há outras figuras ou dados.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula básica que vamos usar): a série geométrica.
\text{Se }|r|<1,\quad \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Aqui r é a razão da série geométrica (pode ser qualquer expressão envolvendo x). Essa fórmula vem de manipular a soma finita e tomar limite; é a ferramenta padrão para transformar frações da forma 1/(1-r) em séries de potências.

Passo 3

Compare f(x) com a forma 1/(1-r). Podemos escrever
f(x)=\frac{3}{1-x^{4}}=3\cdot\frac{1}{1-x^{4}}.
Identificamos r=x^{4}. Aplicando a fórmula da série geométrica com r=x^{4} (válida quando |x^{4}|<1), obtemos
\frac{1}{1-x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{4n}.

Passo 4

Multiplicando por 3 obtemos a série de potências buscada:
f(x)=3\sum_{n=0}^{\infty} x^{4n}.
Explicando: os termos da série são 3x^{0},3x^{4},3x^{8},3x^{12},\dots. Repare que os coeficientes a_n são a_{4n}=3 e a_k=0 se k não é múltiplo de 4.

Passo 5

Determinar o raio de convergência. A condição para a validade da expansão geométrica usada foi |x^{4}|<1. Isso equivale a
|x|^{4}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Portanto o raio de convergência é R=1.

Passo 6

Testar os extremos do intervalo [-R,R]=[-1,1].
  • Para x=1: a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty} 3\cdot 1^{4n}=\sum_{n=0}^{\infty} 3, que diverge (os termos não tendem a zero). Além disso f(1)=3/(1-1) é indefinido.
  • Para x=-1: como (-1)^{4n}=1, a série também é \sum_{n=0}^{\infty} 3, que diverge. E f(-1)=3/(1-1) é indefinido.
    Portanto os extremos x=\pm 1 não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (para você decorar e usar na prova): quando a função é uma constante dividida por 1- alguma potência de x, tente reconhecer uma série geométrica com r igual àquela potência. Depois verifique |r|<1 para achar o raio; cheque os extremos separadamente.

Resposta

\displaystyle f(x)=3\sum_{n=0}^{\infty} x^{4n}
R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)

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