Considere f(x, \mathrm{y})=u(x, y, 0) como sendo a temperatura inicial numa fina chapa quadrada de lado \pi, com as bordas mantidas a 0^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} as faces perfeitamente isoladas. Separando as variáveis, obtenha, a partir de u_{t}=c^{2} \nabla^{2} u a solução
u(x, y, t)=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} B_{m n} \operatorname{sen} m x \operatorname{sen} n y e^{-c^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right) t}
na qual
B_{m n}=\frac{4}{\pi^{2}} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x, y) \operatorname{sen} m x \operatorname{sen} n y d x d y

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em linguagem bem direta, sem resolver nada ainda):
  • Temos a equação da difusão (calor) em duas dimensões
u_{t}=c^{2}\nabla^{2}u
para (x,y) no quadrado 0<x<\pi,\;0<y<\pi e t>0.
  • As condições de contorno são: as bordas do quadrado estão mantidas a 0^\circC, isto é
u(0,y,t)=u(\pi,y,t)=0,\quad u(x,0,t)=u(x,\pi,t)=0\quad\text{para todo }t>0.
  • A condição inicial é dada por
u(x,y,0)=f(x,y),
ou seja, a temperatura inicial da chapa é f(x,y).
  • O enunciado pede obter, por separação de variáveis, a solução da forma
u(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}B_{mn}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,e^{-c^{2}(m^{2}+n^{2})t},
e a expressão para os coeficientes B_{mn}:
B_{mn}=\frac{4}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x,y)\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,dx\,dy.

Passo 2

Suposição de separação e substituição na PDE — ideia e motivo:
  • Vamos procurar soluções separáveis do tipo
u(x,y,t)=X(x)\,Y(y)\,T(t).
Isto significa que a dependência em x, y e t aparece multiplicativamente. Essa suposição funciona porque a equação é linear e homogênea e as condições de contorno são homogêneas (zero nas bordas).
  • Substituindo na PDE temos
X(x)Y(y)T'(t)=c^{2}\big(X''(x)Y(y)T(t)+X(x)Y''(y)T(t)\big).
Dividindo por c^{2}X(x)Y(y)T(t) obtemos
\frac{1}{c^{2}}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}.
  • O lado esquerdo depende só de t e o lado direito só de x,y. Para que isso seja possível para todos x,y,t, cada lado deve ser igual a uma constante, que vamos chamar de -\lambda. Assim:
\frac{1}{c^{2}}\frac{T'}{T}=-\lambda \quad\text{e}\quad \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=-\lambda.
  • Agora separamos ainda mais a parte espacial. Escrevemos
\frac{X''}{X}=-\mu,\quad \frac{Y''}{Y}=-(\lambda-\mu),
onde \mu é uma constante de separação adicional. A escolha dos sinais negativos é orientada pelas condições de contorno nulas (elas levam a autovalores positivos, que produzem funções seno/cosseno).

Passo 3

Equações para X e suas soluções com as condições de contorno em x:
  • A equação para X é
X''+\mu X=0,
com condições X(0)=0 e X(\pi)=0.
  • Para que exista solução não trivial, os autovalores \mu devem ser da forma \mu=m^{2} com m\in\mathbb{N} (inteiros positivos). Caso contrário a única solução é X\equiv0.
  • Para \mu=m^{2} a solução (não nula) que satisfaz as condições de contorno é, à constante multiplicativa perto,
X_{m}(x)=\operatorname{sen} m x.
  • Observação importante (ortogonalidade): funções \operatorname{sen} m x e \operatorname{sen} p x são ortogonais no intervalo [0,\pi], com
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} p x\,dx=\begin{cases} 0,& m\neq p,\\[4pt] \frac{\pi}{2},& m=p. \end{cases}]

Passo 4

Equações para Y e suas soluções com as condições de contorno em y:
  • Pela mesma lógica, a equação para Y é
Y''+(\lambda-\mu)Y=0,
com Y(0)=0 e Y(\pi)=0.
  • Para termos soluções não-triviais precisamos que \lambda-\mu=n^{2} com n\in\mathbb{N}.
  • Portanto Y_{n}(y)=\operatorname{sen} n y (à constante multiplicativa), e também se aplica a ortogonalidade
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} n y\operatorname{sen} q y\,dy=\begin{cases} 0,& n\neq q,\\[4pt] \frac{\pi}{2},& n=q. \end{cases}]

Passo 5

Equação temporal T(t) e dependência em m,n:
  • Juntando \mu=m^{2} e \lambda-\mu=n^{2} obtemos \lambda=m^{2}+n^{2}.
  • A equação temporal era \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{T'}{T}=-\lambda, isto é
T'=-c^{2}\lambda T=-c^{2}(m^{2}+n^{2})T.
  • A solução para T é exponencial decrescente:
T_{mn}(t)=e^{-c^{2}(m^{2}+n^{2})t},
multiplicada por uma constante (que será absorvida nos coeficientes).

Passo 6

Construção das soluções separáveis e princípio da superposição:
  • Uma solução separável associada aos índices m,n é (com um coeficiente A_{mn})
u_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,e^{-c^{2}(m^{2}+n^{2})t}.
  • Pela linearidade da equação e das condições homogêneas de contorno podemos somar essas soluções para obter a solução geral (soma dupla):
u(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}B_{mn}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,e^{-c^{2}(m^{2}+n^{2})t},
onde renomeamos os coeficientes A_{mn} por B_{mn}. Resta determinar B_{mn} a partir da condição inicial.

Passo 7

Determinação dos coeficientes B_{mn} usando a condição inicial e ortogonalidade:
  • A condição inicial pede que, para t=0,
f(x,y)=u(x,y,0)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}B_{mn}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y.
  • Para extrair B_{pq} fixos multiplicamos ambos os lados por \operatorname{sen} p x\operatorname{sen} q y e integramos sobre o quadrado [0,\pi]\times[0,\pi]:
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x,y)\operatorname{sen} p x\operatorname{sen} q y\,dx\,dy =\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}B_{mn}\Big(\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} p x\,dx\Big)\Big(\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} n y\operatorname{sen} q y\,dy\Big).
  • Pelas propriedades de ortogonalidade citadas:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} p x\,dx=\frac{\pi}{2}\delta_{mp},\quad \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} n y\operatorname{sen} q y\,dy=\frac{\pi}{2}\delta_{nq},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.
  • Assim, na soma dupla só sobrevive o termo m=p,\;n=q, e obtemos
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x,y)\operatorname{sen} p x\operatorname{sen} q y\,dx\,dy = B_{pq}\,\frac{\pi}{2}\,\frac{\pi}{2}=B_{pq}\,\frac{\pi^{2}}{4}.
  • Resolvendo para B_{pq} (substituindo p\to m,\;q\to n) ficamos com
B_{mn}=\frac{4}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x,y)\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,dx\,dy.

Passo 8

Resumo final — juntando tudo e comentando rapidamente sobre validade:
  • Portanto a solução que satisfaz a PDE, as condições de contorno u=0 nas bordas do quadrado e a condição inicial u(x,y,0)=f(x,y) é a soma dupla com os coeficientes acima. A série converge (em sentido apropriado, por exemplo em L^2) para funções iniciais razoáveis f. Em termos práticos, cada termo representa um modo de vibração térmica que decai exponencialmente com taxa c^{2}(m^{2}+n^{2}).

Resposta

u(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}B_{mn}\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,e^{-c^{2}(m^{2}+n^{2})t}
B_{mn}=\frac{4}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x,y)\operatorname{sen} m x\operatorname{sen} n y\,dx\,dy

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