Considere
como sendo a temperatura inicial numa fina chapa quadrada de lado
, com as bordas mantidas a
as faces perfeitamente isoladas. Separando as variáveis, obtenha, a partir de
a solução
na qual
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (em linguagem bem direta, sem resolver nada ainda):
- Temos a equação da difusão (calor) em duas dimensões
para
no quadrado
e
.
- As condições de contorno são: as bordas do quadrado estão mantidas a
C, isto é
- A condição inicial é dada por
ou seja, a temperatura inicial da chapa é
.
- O enunciado pede obter, por separação de variáveis, a solução da forma
e a expressão para os coeficientes
:
Passo 2
Suposição de separação e substituição na PDE — ideia e motivo:
- Vamos procurar soluções separáveis do tipo
Isto significa que a dependência em
,
e
aparece multiplicativamente. Essa suposição funciona porque a equação é linear e homogênea e as condições de contorno são homogêneas (zero nas bordas).
- Substituindo na PDE temos
Dividindo por
obtemos
- O lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de . Para que isso seja possível para todos , cada lado deve ser igual a uma constante, que vamos chamar de . Assim:
- Agora separamos ainda mais a parte espacial. Escrevemos
onde
é uma constante de separação adicional. A escolha dos sinais negativos é orientada pelas condições de contorno nulas (elas levam a autovalores positivos, que produzem funções seno/cosseno).
Passo 3
Equações para
e suas soluções com as condições de contorno em
:
- A equação para
é
com condições
e
.
- Para que exista solução não trivial, os autovalores
devem ser da forma com (inteiros positivos). Caso contrário a única solução é . - Para
a solução (não nula) que satisfaz as condições de contorno é, à constante multiplicativa perto,
- Observação importante (ortogonalidade): funções
e são ortogonais no intervalo , com
Passo 4
Equações para
e suas soluções com as condições de contorno em
:
- Pela mesma lógica, a equação para
é
com
e
.
- Para termos soluções não-triviais precisamos que
com . - Portanto
(à constante multiplicativa), e também se aplica a ortogonalidade
Passo 5
Equação temporal
e dependência em
:
- Juntando
e obtemos . - A equação temporal era
, isto é
- A solução para
é exponencial decrescente:
multiplicada por uma constante (que será absorvida nos coeficientes).
Passo 6
Construção das soluções separáveis e princípio da superposição:
- Uma solução separável associada aos índices
é (com um coeficiente )
- Pela linearidade da equação e das condições homogêneas de contorno podemos somar essas soluções para obter a solução geral (soma dupla):
onde renomeamos os coeficientes
por
. Resta determinar
a partir da condição inicial.
Passo 7
Determinação dos coeficientes
usando a condição inicial e ortogonalidade:
- A condição inicial pede que, para
,
- Para extrair
fixos multiplicamos ambos os lados por e integramos sobre o quadrado :
- Pelas propriedades de ortogonalidade citadas:
onde
é o delta de Kronecker.
- Assim, na soma dupla só sobrevive o termo
, e obtemos
- Resolvendo para
(substituindo ) ficamos com
Passo 8
Resumo final — juntando tudo e comentando rapidamente sobre validade:
- Portanto a solução que satisfaz a PDE, as condições de contorno
nas bordas do quadrado e a condição inicial é a soma dupla com os coeficientes acima. A série converge (em sentido apropriado, por exemplo em L^2) para funções iniciais razoáveis . Em termos práticos, cada termo representa um modo de vibração térmica que decai exponencialmente com taxa .