Questão 2. Usando teorema de Green, calcule as integrais de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. \oint_{C} \cos y d x+x^{2} \sin x d y onde C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2),(0,2).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \cos y\,dx + x^{2}\sin x\,dy
onde C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2),(0,2) e a orientação é positiva. Dados relevantes extraídos do enunciado:
A curva C é o contorno fechado do retângulo R = \{(x,y)\mid 0\le x\le 5,\;0\le y\le 2\}.
A forma diferencial é P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=\cos y e Q(x,y)=x^{2}\sin x.
A orientação positiva do contorno significa que C é percorrida no sentido anti-horário.
O que precisamos fornecer: o valor numérico (expr. em termos de funções trigonométricas) da integral de linha indicada.
Passo 2
Vamos usar a relação entre a integral de linha fechada e uma integral dupla sobre a região interna do contorno (a fórmula que transforma a integral de contorno em integral sobre a área). Para uma curva fechada C orientada positivamente e uma região R limitada por C, se P e Q têm derivadas parciais contínuas em R, vale
Aqui P(x,y)=\cos y e Q(x,y)=x^{2}\sin x. A ideia: trocar a integral de caminho por uma integral dupla mais fácil de calcular porque R é um retângulo.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais que aparecem no integrando:
Primeiro \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Note que Q(x,y)=x^{2}\sin x depende só de x, então aplicamos a regra do produto para derivar em relação a x:
Regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=\sin x, então (uv)'=u'v+uv'.
Aqui u'(x)=2x e v'(x)=\cos x. Logo
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x\sin x + x^{2}\cos x.
Em seguida \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=\cos y, derivando em relação a y obtemos\frac{\partial P}{\partial y} = -\sin y.
Passo 4
Formamos o integrando \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(2x\sin x + x^{2}\cos x\bigr) - (-\sin y) = 2x\sin x + x^{2}\cos x + \sin y.
Passo 5
A integral de contorno vira a integral dupla sobre o retângulo R=[0,5]\times[0,2]:
\oint_{C} \cos y\,dx + x^{2}\sin x\,dy = \iint_{R} \bigl(2x\sin x + x^{2}\cos x + \sin y\bigr)\,dA.
Como R é um retângulo, podemos separar a integral em soma de integrais e, sempre que conveniente, separar a integração em x e y. Escrevendo explicitamente: