Questão 2. Usando teorema de Green, calcule as integrais de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
\oint_{C} \cos y d x+x^{2} \sin x d y onde C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2),(0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \cos y\,dx + x^{2}\sin x\,dy
onde C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2),(0,2) e a orientação é positiva. Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A curva C é o contorno fechado do retângulo R = \{(x,y)\mid 0\le x\le 5,\;0\le y\le 2\}.
  • A forma diferencial é P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=\cos y e Q(x,y)=x^{2}\sin x.
  • A orientação positiva do contorno significa que C é percorrida no sentido anti-horário.
    O que precisamos fornecer: o valor numérico (expr. em termos de funções trigonométricas) da integral de linha indicada.

Passo 2

Vamos usar a relação entre a integral de linha fechada e uma integral dupla sobre a região interna do contorno (a fórmula que transforma a integral de contorno em integral sobre a área). Para uma curva fechada C orientada positivamente e uma região R limitada por C, se P e Q têm derivadas parciais contínuas em R, vale
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y)=\cos y e Q(x,y)=x^{2}\sin x. A ideia: trocar a integral de caminho por uma integral dupla mais fácil de calcular porque R é um retângulo.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais que aparecem no integrando:
  • Primeiro \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Note que Q(x,y)=x^{2}\sin x depende só de x, então aplicamos a regra do produto para derivar em relação a x:
    • Regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=\sin x, então (uv)'=u'v+uv'.
    • Aqui u'(x)=2x e v'(x)=\cos x. Logo
    \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x\sin x + x^{2}\cos x.
  • Em seguida \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=\cos y, derivando em relação a y obtemos \frac{\partial P}{\partial y} = -\sin y.

Passo 4

Formamos o integrando \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(2x\sin x + x^{2}\cos x\bigr) - (-\sin y) = 2x\sin x + x^{2}\cos x + \sin y.

Passo 5

A integral de contorno vira a integral dupla sobre o retângulo R=[0,5]\times[0,2]:
\oint_{C} \cos y\,dx + x^{2}\sin x\,dy = \iint_{R} \bigl(2x\sin x + x^{2}\cos x + \sin y\bigr)\,dA.
Como R é um retângulo, podemos separar a integral em soma de integrais e, sempre que conveniente, separar a integração em x e y. Escrevendo explicitamente:
\iint_{R} 2x\sin x\,dA +\iint_{R} x^{2}\cos x\,dA +\iint_{R} \sin y\,dA.

Passo 6

Calcule a primeira integral:
\iint_{R} 2x\sin x\,dA = \int_{x=0}^{5}\int_{y=0}^{2} 2x\sin x\,dy\,dx.
Integrando primeiro em y (a função não depende de y), obtemos um fator 2 do comprimento em y:
\int_{0}^{5} \bigl(2x\sin x\cdot 2\bigr)\,dx = 4\int_{0}^{5} x\sin x\,dx.
Agora use integração por partes para \int x\sin x\,dx.
  • Fórmula de integração por partes: \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • Escolha u=x (logo du=dx) e dv=\sin x\,dx (logo v=-\cos x).
    Aplicando:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Avalie de 0 a 5:
\int_{0}^{5} x\sin x\,dx = \bigl(-x\cos x + \sin x\bigr)\Big|_{0}^{5} = -5\cos 5 + \sin 5.
Multiplicando por 4 (do fator anterior):
\iint_{R} 2x\sin x\,dA = 4(-5\cos 5 + \sin 5) = -20\cos 5 + 4\sin 5.

Passo 7

Calcule a segunda integral:
\iint_{R} x^{2}\cos x\,dA = \int_{0}^{5}\int_{0}^{2} x^{2}\cos x\,dy\,dx = \int_{0}^{5} \bigl(x^{2}\cos x\cdot 2\bigr)\,dx = 2\int_{0}^{5} x^{2}\cos x\,dx.
Precisamos de \int x^{2}\cos x\,dx. Usamos integração por partes duas vezes.
  • Primeira aplicação: tome u=x^{2} ( du=2x\,dx) e dv=\cos x\,dx ( v=\sin x). Então \int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int 2x\sin x\,dx.
  • Para \int 2x\sin x\,dx usamos o resultado do Passo 6 (com fator 2): \int 2x\sin x\,dx = 2\int x\sin x\,dx = 2\bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) = -2x\cos x + 2\sin x.
Substituindo:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \bigl(-2x\cos x + 2\sin x\bigr) = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x.
Avalie de 0 a 5:
\int_{0}^{5} x^{2}\cos x\,dx = \bigl(x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x\bigr)\Big|_{0}^{5} = \bigl(25\sin 5 + 10\cos 5 - 2\sin 5\bigr) - 0 = 23\sin 5 + 10\cos 5.
Multiplicando pelo fator 2:
\iint_{R} x^{2}\cos x\,dA = 2(23\sin 5 + 10\cos 5) = 46\sin 5 + 20\cos 5.

Passo 8

Calcule a terceira integral:
\iint_{R} \sin y\,dA = \int_{0}^{5}\int_{0}^{2} \sin y\,dy\,dx.
Integre em y:
\int_{0}^{2} \sin y\,dy = \bigl(-\cos y\bigr)\Big|_{0}^{2} = -\cos 2 + \cos 0 = 1 - \cos 2.
Agora integramos em x sobre 0 a 5, que só multiplica por 5:
\iint_{R} \sin y\,dA = \int_{0}^{5} (1-\cos 2)\,dx = 5(1-\cos 2).

Passo 9

Some as três contribuições calculadas:
  • Do Passo 6: -20\cos 5 + 4\sin 5.
  • Do Passo 7: 46\sin 5 + 20\cos 5.
  • Do Passo 8: 5(1-\cos 2).
Somando:
(-20\cos 5 + 4\sin 5) + (46\sin 5 + 20\cos 5) + 5(1-\cos 2).
Reorganize termos iguais:
  • Os termos com \cos 5: -20\cos 5 + 20\cos 5 = 0 (cancelam).
  • Os termos com \sin 5: 4\sin 5 + 46\sin 5 = 50\sin 5.
  • Resto: 5(1-\cos 2).
    Logo o resultado final é
50\sin 5 + 5(1-\cos 2).
Podemos expandir se preferir:
5 + 50\sin 5 - 5\cos 2.

Resposta

5 + 50\sin 5 - 5\cos 2

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