Considere f(x) = raiz(sen(x) + cos(3x) + 1).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (0, raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos achar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Isso envolve usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Vamos usar a regra da cadeia aqui, porque temos uma função composta dentro da raiz quadrada.
A derivada de em relação a é , onde . Então, vamos calcular :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora precisamos encontrar a derivada no ponto , ou seja, . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Primeiro, calculamos e em :
Agora, substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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