Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ordem continuas e satisfaz a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
z=x^2+2 x y

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função é harmônica. Isso significa que precisamos checar se ela satisfaz a equação de Laplace, que envolve as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e . Para isso, vamos calcular essas derivadas e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem de partial zpartial x = 2x + 2y em relação a partial zpartial y = 2x :
E a derivada parcial de primeira ordem de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Começando com a derivada de segunda ordem em relação a partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x (2x + 2y) = 2 :
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y (2x) = 0
E a derivada de segunda ordem em relação a :

Passo 4

Agora, somamos as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 2 + 0 = 2
Para que a função seja harmônica, essa soma precisa ser igual a zero.

Resposta

Como , a função não é harmônica.

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