- Considere uma fibra ID cujo índice de refração do núcleo seja
, o índice de refração da casca seja
, para o comprimento de onda
. Se o raio do núcleo é
, quantos modos podem se propagar?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
-
Dados fornecidos:
- índice de refração do núcleo:
- índice de refração da casca:
- comprimento de onda no vácuo:
- raio do núcleo:
- índice de refração do núcleo:
-
O que o problema pede:
- Determinar quantos modos podem se propagar nessa fibra (ou seja, o número aproximado de modos guiados).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a grandeza chave: o parâmetro de normalização da fibra, chamado de número de V (ou parâmetro normalizado). Ele determina quantos modos podem guiar-se na fibra. A fórmula é:
onde:
-
é o parâmetro adimensional (sem unidade), -
é o raio do núcleo (mesma unidade que ), -
é o comprimento de onda no vácuo, -
e são os índices de refração do núcleo e da casca, respectivamente.
Vou calcular
passo a passo. (Relaxa — vou explicar cada conta com calma.)
Passo 3
Calcular a diferença de quadrados dos índices:
Agora as contas:
Passo 4
Calcular a raiz quadrada dessa diferença (vai aparecer na fórmula de
):
Expliquei o valor com 5 casas decimais para ter precisão nas próximas etapas.
Passo 5
Calcular o fator
. Como
e
estão em
, podemos usar as mesmas unidades (elas se cancelam), então:
Agora o valor numérico:
Passo 6
Agora multiplicamos esse fator pela raiz que calculamos para obter
:
Então o parâmetro normalizado da fibra é aproximadamente
. Observação: esse
é bem maior que o valor de corte de cerca de
para uma fibra mono-modo, então sabemos que a fibra é multimodo — ou seja, vários modos vão se propagar.
Passo 7
Agora precisamos relacionar
ao número de modos guiados. Para fibras de índice degrau (step-index) de seção circular, uma boa aproximação para o número total de modos guiados (modo LP, contando polarizações) quando
é grande é:
Explicação curta do porquê (sem entrar em derivação detalhada): para grande
há muitas soluções discretas para as equações de onda na fibra; a densidade dessas soluções leva a essa relação quadrática em
. Essa é a fórmula prática usada em exercícios e provas. É uma aproximação válida para
grande, como é o nosso caso.
Passo 8
Aplicar a fórmula para obter
. Primeiro elevamos
ao quadrado:
Agora dividimos por 2:
Passo 9
Interpretação e arredondamento: o número de modos deve ser inteiro. Como a fórmula é aproximada e o resultado representa o número de modos guiados, faz sentido arredondar para um número inteiro próximo. Normalmente tomamos o valor inteiro mais próximo ou truncamos, mas aqui podemos informar que aproximadamente
modos podem se propagar.
Respira — deu trabalho, mas chegamos lá. A conclusão prática para a prova: calcule
com cuidado e use
quando
for grande.