1. Considere uma fibra ID cujo índice de refração do núcleo seja \mathrm{n}_{1}=1,500, o índice de refração da casca seja \mathrm{n}_{2}=1,485, para o comprimento de onda \lambda_{0}=0,82 \mu m. Se o raio do núcleo é a=50 \mu m, quantos modos podem se propagar?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Dados fornecidos:
    • índice de refração do núcleo: n_{1}=1{,}500
    • índice de refração da casca: n_{2}=1{,}485
    • comprimento de onda no vácuo: \lambda_{0}=0{,}82\\ \mu\text{m}
    • raio do núcleo: a=50\\ \mu\text{m}
  • O que o problema pede:
    • Determinar quantos modos podem se propagar nessa fibra (ou seja, o número aproximado de modos guiados).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a grandeza chave: o parâmetro de normalização da fibra, chamado de número de V (ou parâmetro normalizado). Ele determina quantos modos podem guiar-se na fibra. A fórmula é:
V=\frac{2\pi a}{\lambda_{0}}\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}
onde:
  • V é o parâmetro adimensional (sem unidade),
  • a é o raio do núcleo (mesma unidade que \lambda_{0}),
  • \lambda_{0} é o comprimento de onda no vácuo,
  • n_{1} e n_{2} são os índices de refração do núcleo e da casca, respectivamente.
Vou calcular V passo a passo. (Relaxa — vou explicar cada conta com calma.)

Passo 3

Calcular a diferença de quadrados dos índices:
n_{1}^{2}-n_{2}^{2} = 1{,}500^{2}-1{,}485^{2}
Agora as contas:
1{,}500^{2}=2{,}25
1{,}485^{2}=2{,}205225
n_{1}^{2}-n_{2}^{2}=2{,}25-2{,}205225=0{,}044775

Passo 4

Calcular a raiz quadrada dessa diferença (vai aparecer na fórmula de V):
\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}=\sqrt{0{,}044775}\approx 0{,}21157
Expliquei o valor com 5 casas decimais para ter precisão nas próximas etapas.

Passo 5

Calcular o fator \dfrac{2\pi a}{\lambda_{0}}. Como a e \lambda_{0} estão em \mu\text{m}, podemos usar as mesmas unidades (elas se cancelam), então:
\frac{2\pi a}{\lambda_{0}}=\frac{2\pi\cdot 50}{0{,}82}=\frac{100\pi}{0{,}82}
Agora o valor numérico:
100\pi\approx 314{,}159265
\frac{100\pi}{0{,}82}\approx 383{,}365945

Passo 6

Agora multiplicamos esse fator pela raiz que calculamos para obter V:
V \approx 383{,}365945\times 0{,}21157 \approx 81{,}13
Então o parâmetro normalizado da fibra é aproximadamente V\approx 81{,}13. Observação: esse V é bem maior que o valor de corte de cerca de 2{,}405 para uma fibra mono-modo, então sabemos que a fibra é multimodo — ou seja, vários modos vão se propagar.

Passo 7

Agora precisamos relacionar V ao número de modos guiados. Para fibras de índice degrau (step-index) de seção circular, uma boa aproximação para o número total de modos guiados (modo LP, contando polarizações) quando V é grande é:
M \approx \frac{V^{2}}{2}
Explicação curta do porquê (sem entrar em derivação detalhada): para grande V há muitas soluções discretas para as equações de onda na fibra; a densidade dessas soluções leva a essa relação quadrática em V. Essa é a fórmula prática usada em exercícios e provas. É uma aproximação válida para V grande, como é o nosso caso.

Passo 8

Aplicar a fórmula para obter M. Primeiro elevamos V ao quadrado:
V^{2}\approx 81{,}13^{2}\approx 6582{,}08
Agora dividimos por 2:
M\approx \frac{6582{,}08}{2}\approx 3291{,}04

Passo 9

Interpretação e arredondamento: o número de modos deve ser inteiro. Como a fórmula é aproximada e o resultado representa o número de modos guiados, faz sentido arredondar para um número inteiro próximo. Normalmente tomamos o valor inteiro mais próximo ou truncamos, mas aqui podemos informar que aproximadamente 3291 modos podem se propagar.
Respira — deu trabalho, mas chegamos lá. A conclusão prática para a prova: calcule V com cuidado e use M\approx V^{2}/2 quando V for grande.

Resposta

\approx 3291 modos

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