Considere uma fibra óptica multimodo ID em que o índice de refracção do núcleo é n_{l}=1.48, a diferença relativa dos índices de refração é
\Delta=1.5 \% e o diâmetro do núcleo é
\\mathrm{d}=80 \mu \mathrm{~m}. Admitindo que o comprimento de onda em que a fibra está operando seja
\lambda=850 \mathrm{~nm}, calcule:
a) A frequência normalizada.
b) O número de modos guiados.
c) Qual seria o número de modos guiados, nas mesmas condições, caso se tratasse de uma fibra multimodo IG de perfil parabólico (admitindo o mesmo valor n_{1} no centro do núcleo)
d) Calcule o diâmetro máximo que o núcleo da fibra deveria ter para que, nas mesmas condições, só suportasse um modo de propagação.
e) Repita o item anterior considerando agora que se trata de uma fibra multimodo IG de perfil parabólico (admitindo o mesmo valor n_{1} no centro do núcleo).
f) Admitindo que a fibra tenha um diâmetro
\\\\mathrm{d}=8 \mu \mathrm{~m}, calcule a diferença relativa dos índices de refração máxima para que, nas mesmas condições, a fibra funcione em monomodo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo:
Dados fornecidos:
n_{1}=1{,}48,\qquad \Delta=1{,}5\%=0{,}015,\qquad d=80\,\mu\mathrm{m},\qquad \lambda=850\,\mathrm{nm}.
Perguntas pedidas:
a) Calcular a frequência normalizada V.
b) Calcular o número de modos guiados (fibra multimodo de índice degrau — ID).
c) Calcular o número de modos guiados para uma fibra multimodo de índice graduado (IG) de perfil parabólico (mesmo n_{1} no centro).
d) Calcular o diâmetro máximo d_{\max} do núcleo para que, nas mesmas condições, a fibra suporte somente um modo (ID).
e) Repetir o item (d) para a fibra IG de perfil parabólico.
f) Para d=8\,\mu\mathrm{m}, calcular o valor máximo de \Delta para que a fibra funcione em monomodo (nas mesmas demais condições).

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas principais e explicar cada termo (aula rápida e prática):
  1. Índice numérico de aceitação (numerical aperture, NA). A definição exata é
\mathrm{NA}=\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}},
onde n_{1} é o índice do núcleo e n_{2} o do revestimento. Para pequenas diferenças de índice é usual definir a diferença relativa por
\Delta=\frac{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}{2\,n_{1}^{2}}.
Isolando n_{1}^{2}-n_{2}^{2} obtemos n_{1}^{2}-n_{2}^{2}=2\,n_{1}^{2}\Delta, daí
\mathrm{NA}=n_{1}\sqrt{2\Delta}.
Explicação: essa expressão evita ter de conhecer n_{2} explicitamente; ela é válida (exata com essa definição de \Delta) e muito usada em problemas práticos.
  1. Frequência normalizada (parâmetro V):
V=\frac{2\pi a}{\lambda}\,\mathrm{NA},
onde a é o raio do núcleo ( a=d/2) e \lambda é o comprimento de onda no vácuo. O parâmetro V controla quantos modos a fibra pode guiar: quanto maior V, mais modos.
  1. Número aproximado de modos guiados (grande V):
  • Para fibra multimodo de índice degrau (ID), o número total de modos (contando degenerações) é aproximadamente
M_{\text{ID}}\approx\frac{V^{2}}{2}.
  • Para fibra IG com perfil do índice obedecendo n(r)=n_{1}[1-2\Delta (r/a)^{\alpha}] (e para a seção parabólica \alpha=2), o número aproximado de modos é
M_{\text{IG}}\approx\frac{\alpha}{\alpha+2}\cdot\frac{V^{2}}{2}.
No caso parabólico ( \alpha=2) isso simplifica para
M_{\text{IG,parab}}\approx\frac{V^{2}}{4}.
Explicação: a fator \alpha/(\alpha+2) aparece da contagem de modos para perfis graduados; para \alpha\to\infty recupera-se o caso degrau.
  1. Condição monomodo:
  • Para ID (degrau) a primeira ordem cortante é V_{\text{cut}}\approx2{,}405. Para garantir um único modo, requeremos V<2{,}405.
  • Para IG parabólica, a estimativa prática para monomodo é M_{\text{IG}}\le 1\Rightarrow V\le 2 (porque M\approx V^{2}/4 e V^{2}/4\le1\Rightarrow V\le2).
  1. Relação reversa para encontrar \Delta a partir de \mathrm{NA}:
\Delta=\frac{\mathrm{NA}^{2}}{2\,n_{1}^{2}}.
Agora aplicamos essas fórmulas com os números dados, passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \mathrm{NA} a partir de \Delta:
\mathrm{NA}=n_{1}\sqrt{2\Delta}.
Substituindo n_{1}=1{,}48 e \Delta=0{,}015:
\sqrt{2\Delta}=\sqrt{2\cdot0{,}015}=\sqrt{0{,}03}=0{,}17320508\ldots
\mathrm{NA}=1{,}48\times0{,}17320508\ldots=0{,}2563435\ldots
Arredondando de forma prática:
\mathrm{NA}\approx0{,}25634.

Passo 4

Cálculo da frequência normalizada V (resposta do item a):
Primeiro o raio do núcleo:
a=\frac{d}{2}=\frac{80\,\mu\mathrm{m}}{2}=40\,\mu\mathrm{m}=40\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
Agora
V=\frac{2\pi a}{\lambda}\,\mathrm{NA}=\frac{2\pi\cdot40\times10^{-6}}{850\times10^{-9}}\times0{,}2563435\ldots
Calculemos o fator \dfrac{2\pi a}{\lambda}:
\frac{2\pi a}{\lambda}=\frac{2\pi\cdot40\times10^{-6}}{850\times10^{-9}}\approx295{,}087.
Logo
V\approx295{,}087\times0{,}2563435\approx75{,}64.
Portanto,
\boxed{V\approx75{,}64.}

Passo 5

Número de modos guiados para fibra ID (item b):
Usamos a fórmula aproximada para grande V:
M_{\text{ID}}\approx\frac{V^{2}}{2}.
Substituindo V\approx75{,}64:
V^{2}\approx75{,}64^{2}\approx5721{,}98,
M_{\text{ID}}\approx\frac{5721{,}98}{2}\approx2860{,}99.
Arredondando para um número inteiro de modos:
\boxed{M_{\text{ID}}\approx2861\\ \text{modos (aprox.)}.}
Comentário didático: esse é um valor grande — fibras multimodo guiam milhares de modos quando o diâmetro e NA são grandes.

Passo 6

Número de modos para fibra IG de perfil parabólico (item c):
Para perfil parabólico ( \alpha=2) temos
M_{\text{IG,parab}}\approx\frac{V^{2}}{4}.
Com V^{2}\approx5721{,}98:
M_{\text{IG,parab}}\approx\frac{5721{,}98}{4}\approx1430{,}495.
Arredondando:
\boxed{M_{\text{IG,parab}}\approx1431\\ \text{modos (aprox.)}.}
Explicação rápida: o perfil parabólico reduz o número efetivo de modos guiados em comparação ao degrau — é por isso que esse perfil melhora a qualidade do sinal em fibras multimodo.

Passo 7

Diâmetro máximo para monomodo (ID) — item d:
Condição monomodo para ID: V_{\max}=2{,}405. Resolvendo para d:
V=\frac{2\pi a}{\lambda}\mathrm{NA}=\frac{\pi d}{\lambda}\mathrm{NA}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{V\lambda}{\pi\,\mathrm{NA}}.
Substituindo V=2{,}405, \lambda=850\times10^{-9}\,\mathrm{m} e \mathrm{NA}=0{,}2563435:
d_{\max}=\frac{2{,}405\times850\times10^{-9}}{\pi\times0{,}2563435}\approx2{,}5397\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
Convertendo para micrômetros:
d_{\max}\approx2{,}54\,\mu\mathrm{m}.
Portanto, para que a fibra ID seja monomodo nessas condições, o núcleo teria que ter diâmetro máximo
\boxed{d_{\max,\text{ID}}\approx2{,}54\,\mu\mathrm{m}.}

Passo 8

Diâmetro máximo para monomodo (IG parabólica) — item e:
Para IG parabólica usamos a condição V_{\max}=2 (pois M\approx V^{2}/4\le1\Rightarrow V\le2). Usamos a mesma fórmula para d:
d_{\max}=\frac{V\lambda}{\pi\,\mathrm{NA}}=\frac{2\times850\times10^{-9}}{\pi\times0{,}2563435}\approx2{,}1115\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
Em micrômetros:
\boxed{d_{\max,\text{IG,parab}}\approx2{,}11\,\mu\mathrm{m}.}
Comentário: o diâmetro permitido para monomodo em IG parabólica é ainda menor do que no caso degrau (aqui, 2{,}11 versus 2{,}54\,\mu\mathrm{m}), pois o critério de V mudou.

Passo 9

Item (f): para d=8\,\mu\mathrm{m}, encontrar \Delta_{\max} para monomodo (assumimos caso ID; se não especificado, toma-se a condição padrão de corte V=2{,}405).
Passos:
  1. Calcular \mathrm{NA}_{\max} correspondente a V_{\max}=2{,}405:
\mathrm{NA}_{\max}=\frac{V_{\max}\,\lambda}{\pi d}=\frac{2{,}405\times850\times10^{-9}}{\pi\times8\times10^{-6}}.
Calculemos numericamente:
\mathrm{NA}_{\max}\approx0{,}08134.
  1. A partir de \mathrm{NA}_{\max} obter \Delta_{\max} usando \mathrm{NA}=n_{1}\sqrt{2\Delta}\Rightarrow \Delta=\dfrac{\mathrm{NA}^{2}}{2\,n_{1}^{2}}:
\Delta_{\max}=\frac{0{,}08134^{2}}{2\times(1{,}48)^{2}}.
Cálculo:
0{,}08134^{2}\approx0{,}006616,\qquad 2n_{1}^{2}=2\times1{,}48^{2}=2\times2{,}1904=4{,}3808,
\Delta_{\max}\approx\frac{0{,}006616}{4{,}3808}\approx0{,}001511.
Em porcentagem:
\Delta_{\max}\approx0{,}1511\%.
Portanto,
\boxed{\Delta_{\max}\approx0{,}001511\quad(\text{ou }0{,}1511\%).}

Passo 10

Resumo rápido (um puxão de orelha amigável): fizemos todas as contas sem usar calculadora complexa — foi só aplicar fórmulas padrão, substituir números e seguir os passos. Se estiver nervoso para a prova, repita mentalmente: calcular NA, calcular V, usar M\approx V^{2}/2 (ID) ou V^{2}/4 (IG parabólica), e para monomodo usar V_{\text{cut}} apropriado. Você consegue!

Resposta

a) V\approx75{,}64.
b) M_{\text{ID}}\approx2861\\ \text{modos (aprox.)}.
c) M_{\text{IG,parab}}\approx1431\\ \text{modos (aprox.)}.
d) d_{\max,\text{ID}}\approx2{,}54\,\mu\mathrm{m}.
e) d_{\max,\text{IG,parab}}\approx2{,}11\,\mu\mathrm{m}.
f) \Delta_{\max}\approx0{,}001511 (ou 0{,}1511\%).

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