Considere uma fonte de 12 V de resistência interna 75 \Omega.
Que valor de R_{L} deve ser ligado para que haja máxima transferência de potência?

Passo 1

O enunciado dá uma fonte de tensão de \,12\\ \text{V}\, com resistência interna \,75\\ \Omega. Pergunta-se qual valor de \,R_{L}\, deve ser ligado aos terminais para que haja máxima transferência de potência para \,R_{L}\,.
Informações relevantes:
  • tensão da fonte (ideal): \,12\\ \text{V}\, (essa é a tensão de circuito aberto nos terminais).
  • resistência interna da fonte: \,75\\ \Omega.
  • queremos o valor de \,R_{L}\, que maximiza a potência dissipada em \,R_{L}\,.

Passo 2

Modelo elétrico e ideia-chave (sem resolver ainda): representamos a fonte real como uma fonte de tensão ideal \,V_s=12\\ \text{V}\, em série com a resistência interna \,R_{\text{int}}=75\\ \Omega. Assim, a corrente que passa pelo circuito com o resistor de carga \,R_L\, é a mesma que atravessa \,R_{\text{int}} (série).
A partir desse modelo, a potência em \,R_L\, é dada por:
P(R_L)=I^2 R_L,
onde I é a corrente do circuito. Na prática vamos escrever I em função de \,R_L\, e então encontrar o R_L que maximiza P(R_L).

Passo 3

Expressão da corrente em função de \,R_L\,:
A corrente do circuito, pela lei de Ohm, é
I=\frac{V_s}{R_{\text{int}}+R_L}.
Aqui \,V_s é a tensão ideal da fonte ( 12\\ \text{V}) e \,R_{\text{int}} é 75\\ \Omega.

Passo 4

Substituímos I em P(R_L)=I^2 R_L para obter a potência em função de \,R_L:
P(R_L)=\left(\frac{V_s}{R_{\text{int}}+R_L}\right)^{2}R_L = \frac{V_s^{2}\,R_L}{(R_{\text{int}}+R_L)^{2}}.
Esta é a função que devemos maximizar em relação a \,R_L.

Passo 5

Derivação para encontrar o máximo (cálculo):
Derivamos P(R_L) em relação a R_L e igualamos a zero. Para simplificar, escrevemos R para R_{\text{int}} (mais à frente substituiremos R=75\\ \Omega).
P(R_L)=\frac{V_s^{2}\,R_L}{(R+R_L)^{2}}.
Calculemos \dfrac{dP}{dR_L}. Usamos a regra do quociente ou derivação do produto; um caminho direto é:
\frac{dP}{dR_L}=V_s^{2}\cdot\frac{(R+R_L)^{2}\cdot 1 - R_L\cdot 2(R+R_L)\cdot 1}{(R+R_L)^{4}}.
Factorizando (R+R_L)^{2} no numerador:
\frac{dP}{dR_L}=V_s^{2}\cdot\frac{(R+R_L) - 2R_L}{(R+R_L)^{3}} =V_s^{2}\cdot\frac{R - R_L}{(R+R_L)^{3}}.

Passo 6

Condição de extremum:
Igualando a derivada a zero para achar pontos críticos,
\frac{dP}{dR_L}=0 \quad\Longrightarrow\quad R - R_L = 0.
Portanto o ponto crítico é
R_L = R.
No nosso caso, R=R_{\text{int}}=75\\ \Omega, então o ponto crítico é R_L=75\\ \Omega.

Passo 7

Verificação de que é máximo:
Observando o sinal de \dfrac{dP}{dR_L}=V_s^{2}\dfrac{R-R_L}{(R+R_L)^{3}}, para R_L<R a derivada é positiva (a potência cresce com R_L) e para R_L>R a derivada é negativa (a potência decresce). Portanto a troca de sinal indica que em R_L=R temos um máximo. Também podemos ver que o denominador é sempre positivo, e o fator V_s^{2} é positivo, então o zero vem apenas de R-R_L. Logo é realmente um máximo.

Passo 8

Interpretando o resultado (intuição prática):
Essa é a declaração do teorema da máxima transferência de potência: para uma fonte com resistência interna \,R_{\text{int}}\,, a potência máxima é entregue ao resistor de carga quando \,R_L = R_{\text{int}}\,. Aqui a resistência de carga deve ser igual a \,75\\ \Omega.

Resposta

R_{L}=75\\ \Omega

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