Considere uma fonte de 12 V de resistência interna
.
Que valor de
deve ser ligado para que haja máxima transferência de potência?
Que valor de
Passo 1
O enunciado dá uma fonte de tensão de
com resistência interna
. Pergunta-se qual valor de
deve ser ligado aos terminais para que haja máxima transferência de potência para
.
Informações relevantes:
- tensão da fonte (ideal):
(essa é a tensão de circuito aberto nos terminais). - resistência interna da fonte:
. - queremos o valor de
que maximiza a potência dissipada em .
Passo 2
Modelo elétrico e ideia-chave (sem resolver ainda): representamos a fonte real como uma fonte de tensão ideal
em série com a resistência interna
. Assim, a corrente que passa pelo circuito com o resistor de carga
é a mesma que atravessa
(série).
A partir desse modelo, a potência em
é dada por:
onde
é a corrente do circuito. Na prática vamos escrever
em função de
e então encontrar o
que maximiza
.
Passo 3
Expressão da corrente em função de
:
A corrente do circuito, pela lei de Ohm, é
A corrente do circuito, pela lei de Ohm, é
Aqui
é a tensão ideal da fonte (
) e
é
.
Passo 4
Substituímos
em
para obter a potência em função de
:
Esta é a função que devemos maximizar em relação a
.
Passo 5
Derivação para encontrar o máximo (cálculo):
Derivamos em relação a
e igualamos a zero. Para simplificar, escrevemos
para
(mais à frente substituiremos
).
Derivamos
Calculemos
. Usamos a regra do quociente ou derivação do produto; um caminho direto é:
Factorizando
no numerador:
Passo 6
Condição de extremum:
Igualando a derivada a zero para achar pontos críticos,
Igualando a derivada a zero para achar pontos críticos,
Portanto o ponto crítico é
No nosso caso,
, então o ponto crítico é
.
Passo 7
Verificação de que é máximo:
Observando o sinal de , para
a derivada é positiva (a potência cresce com
) e para
a derivada é negativa (a potência decresce). Portanto a troca de sinal indica que em
temos um máximo. Também podemos ver que o denominador é sempre positivo, e o fator
é positivo, então o zero vem apenas de
. Logo é realmente um máximo.
Observando o sinal de
Passo 8
Interpretando o resultado (intuição prática):
Essa é a declaração do teorema da máxima transferência de potência: para uma fonte com resistência interna , a potência máxima é entregue ao resistor de carga quando
. Aqui a resistência de carga deve ser igual a
.
Essa é a declaração do teorema da máxima transferência de potência: para uma fonte com resistência interna