Considere um forno cúbico de 5 \mathrm{~m} \times 5 \mathrm{~m} \times 5 \mathrm{~m}, cujas superfícies se aproximam de superfícies negras. As superfícies da base, superior e laterais do forno são mantidas em temperaturas uniformes de 800 \mathrm{~K}, 1500 \mathrm{~K} e 500 K , respectivamente.
Determine:
a) q entre a base e as faces laterais;
b) q entre a superfície superior e a base;
c) q a partir da superfície da base.

Passo 1

O enunciado dá um forno cúbico de 5\\ \mathrm{m}\times5\\ \mathrm{m}\times5\\ \mathrm{m} cujas superfícies são aproximadas por superfícies negras (ou seja, emissem como corpos negros). As temperaturas são:
  • base: T_b=800\\ \mathrm{K},
  • superfície superior (teto): T_t=1500\\ \mathrm{K},
  • faces laterais (quatro faces verticais): T_s=500\\ \mathrm{K}.
Áreas das faces (todas quadradas): A=5\cdot5=25\\ \mathrm{m}^2.
O que o enunciado pede:
(a) o fluxo de calor (potência) entre a base e as faces laterais (isto é, a transferência líquida de radiação entre a base e as quatro faces laterais, somadas);
(b) o fluxo de calor entre a superfície superior e a base (transferência líquida entre teto e base);
(c) o fluxo de calor “a partir da superfície da base” — isto é, o fluxo líquido total saindo da base para todas as outras faces (positivo se a base perder calor, negativo se ganhar).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo prático).
  1. Para superfícies negras (emissividade =1) a potência radiativa líquida trocada entre duas superfícies i e j é
q_{i\to j}=\sigma\,A_i\,F_{i\to j}\,\bigl(T_i^4-T_j^4\bigr),
onde:
  • \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} é a constante de Stefan–Boltzmann;
  • A_i é a área da superfície i;
  • F_{i\to j} é o fator de vista (view factor) da superfície i para j;
  • T_i e T_j estão em kelvin; T^4 significa temperatura elevada à quarta potência.
Observações didáticas rápidas:
  • O view factor F_{i\to j} é a fração da radiação emitida por i que atinge j.
  • Para superfícies negras, a expressão acima é exata e bastante simples (não precisamos lidar com radiosidade complexa).
  • As propriedades geométricas determinam os F. Eles satisfazem a regra da soma: para uma superfície i,
\sum_{j\neq i} F_{i\to j}=1,
porque toda radiação emitida por i atinge alguma outra face da cavidade fechada.
  1. Reciprocidade útil:
A_i F_{i\to j} = A_j F_{j\to i}.
Como aqui todas as áreas são iguais ( A_i=A_j=A), temos F_{i\to j}=F_{j\to i}.

Passo 3

Determinação dos fatores de vista no cubo (explicação e valores usados).
  • Considere uma face do cubo (por exemplo, a base). Ela “vê” cinco outras faces: o teto (oposta) e quatro faces laterais (adjacentes). Por simetria as quatro faces laterais são equivalentes entre si, logo têm o mesmo F em relação à base.
  • Portanto, escrevemos
F_{b\to t}+4F_{b\to s}=1,
onde F_{b\to t} é o view factor base→teto e F_{b\to s} é o view factor base→cada face lateral.
  • Para o cubo existe um resultado geométrico conhecido (padrão em problemas de troca radiativa entre faces de um cubo): os view factors são
F_{b\to t}=\tfrac{1}{3},\qquad F_{b\to s}=\tfrac{1}{6}.
Verificação rápida: \tfrac{1}{3}+4\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{4}{6}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1. Esses valores obedecem à simetria e à conservação de energia; são os valores usuais para um cubo de faces iguais.
(Comentário amiguinho: esses valores vêm do cálculo do ângulo sólido médio que uma face subtende sobre outra num cubo; não é necessário refazer a integral aqui em prova se esse resultado for conhecido ou tabelado.)

Passo 4

Cálculo da potência entre a base e as faces laterais (item a).
Usamos a fórmula para a troca entre a base e todas as quatro laterais:
q_{b\to s(\text{total})} = \sum_{i=1}^{4} q_{b\to s_i} = \sigma\,A\,\bigl(4F_{b\to s}\bigr)\,\bigl(T_b^4-T_s^4\bigr).
Substituindo 4F_{b\to s}=4\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3} e os dados:
A=25\\ \mathrm{m^2},\qquad T_b=800\\ \mathrm{K},\qquad T_s=500\\ \mathrm{K},\qquad \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Primeiro as potências das temperaturas:
T_b^4=800^4=4{,}096\times10^{11}\\ \mathrm{K^4}, \qquad T_s^4=500^4=6{,}250\times10^{10}\\ \mathrm{K^4}.
Diferença:
T_b^4-T_s^4=4{,}096\times10^{11}-6{,}250\times10^{10}=3{,}471\times10^{11}\\ \mathrm{K^4}.
Agora o coeficiente multiplicador:
\sigma A \cdot \tfrac{2}{3} =5{,}670374419\times10^{-8}\times25\times\tfrac{2}{3} \approx 9{,}45062403\times10^{-7}\\ \mathrm{W\,K^{-4}}.
Multiplicando:
q_{b\to s(\text{total})} \approx 9{,}45062403\times10^{-7}\times 3{,}471\times10^{11} \approx 3{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: como T_b>T_s, o sinal positivo indica que a base está perdendo calor para as faces laterais e a potência total trocada entre base e todas as faces laterais é aproximadamente 3{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Cálculo da potência entre a superfície superior (teto) e a base (item b).
Usamos:
q_{t\to b}=\sigma\,A\,F_{t\to b}\,\bigl(T_t^4-T_b^4\bigr).
Como F_{t\to b}=F_{b\to t}=\tfrac{1}{3} (reciprocidade e simetria) e A=25\\ \mathrm{m^2}, temos:
T_t^4=1500^4=5{,}062{,}500{,}000{,}000=5{,}0625\times10^{12}\\ \mathrm{K^4}.
Diferença:
T_t^4-T_b^4=5{,}0625\times10^{12}-4{,}096\times10^{11}=4{,}6529\times10^{12}\\ \mathrm{K^4}.
Coeficiente:
\sigma A \cdot \tfrac{1}{3} =5{,}670374419\times10^{-8}\times25\times\tfrac{1}{3} \approx 4{,}72531202\times10^{-7}\\ \mathrm{W\,K^{-4}}.
Multiplicando:
q_{t\to b} \approx 4{,}72531202\times10^{-7}\times 4{,}6529\times10^{12} \approx 2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: como T_t>T_b, o teto transfere calor para a base; a potência líquida do teto para a base é aproximadamente 2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Cálculo do fluxo líquido a partir da superfície da base (item c).
O fluxo líquido a partir da base para todas as outras superfícies é a soma das trocas da base com o teto e com as quatro laterais:
q_{b,\text{net}} = q_{b\to s(\text{total})} + q_{b\to t}.
Cuidadosamente: já calculamos q_{b\to s(\text{total})} como positivo (base → laterais). Para a troca entre base e teto, nós calculamos q_{t\to b} (teto → base) na etapa anterior; portanto q_{b\to t} = -q_{t\to b}. Então
q_{b,\text{net}} = q_{b\to s(\text{total})} - q_{t\to b}.
Substituindo os valores numéricos:
q_{b,\text{net}} \approx 3{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{W} - 2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{W} \approx -1{,}87\times10^{6}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a base, no balanço total por radiação com as outras faces, está ganhando calor (ou seja, recebe mais calor do teto do que perde para as laterais). O módulo é \approx 1{,}87\times10^{6}\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) q_{\text{base}\leftrightarrow\text{faces laterais}}\approx 3{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{W} (da base para as faces laterais).\n
(b) q_{\text{superior}\leftrightarrow\text{base}}\approx 2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{W} (do teto para a base).\n
(c) q_{\text{líquido a partir da base}}\approx -1{,}87\times10^{6}\\ \mathrm{W}í (valor negativo indica que, no balanço radiativo, a base recebe líquido cerca de 1{,}87\times10^{6}\\ \mathrm{W}).

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