Considere um forno cúbico de
, cujas superfícies se aproximam de superfícies negras. As superfícies da base, superior e laterais do forno são mantidas em temperaturas uniformes de
e 500 K , respectivamente.
Determine:
a) q entre a base e as faces laterais;
b) q entre a superfície superior e a base;
c) q a partir da superfície da base.
Determine:
a) q entre a base e as faces laterais;
b) q entre a superfície superior e a base;
c) q a partir da superfície da base.
Passo 1
O enunciado dá um forno cúbico de
cujas superfícies são aproximadas por superfícies negras (ou seja, emissem como corpos negros). As temperaturas são:
- base:
, - superfície superior (teto):
, - faces laterais (quatro faces verticais):
.
Áreas das faces (todas quadradas):
.
O que o enunciado pede:
(a) o fluxo de calor (potência) entre a base e as faces laterais (isto é, a transferência líquida de radiação entre a base e as quatro faces laterais, somadas);
(b) o fluxo de calor entre a superfície superior e a base (transferência líquida entre teto e base);
(c) o fluxo de calor “a partir da superfície da base” — isto é, o fluxo líquido total saindo da base para todas as outras faces (positivo se a base perder calor, negativo se ganhar).
(a) o fluxo de calor (potência) entre a base e as faces laterais (isto é, a transferência líquida de radiação entre a base e as quatro faces laterais, somadas);
(b) o fluxo de calor entre a superfície superior e a base (transferência líquida entre teto e base);
(c) o fluxo de calor “a partir da superfície da base” — isto é, o fluxo líquido total saindo da base para todas as outras faces (positivo se a base perder calor, negativo se ganhar).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo prático).
- Para superfícies negras (emissividade
) a potência radiativa líquida trocada entre duas superfícies e é
onde:
-
é a constante de Stefan–Boltzmann; -
é a área da superfície ; -
é o fator de vista (view factor) da superfície para ; -
e estão em kelvin; significa temperatura elevada à quarta potência.
Observações didáticas rápidas:
- O view factor
é a fração da radiação emitida por que atinge . - Para superfícies negras, a expressão acima é exata e bastante simples (não precisamos lidar com radiosidade complexa).
- As propriedades geométricas determinam os
. Eles satisfazem a regra da soma: para uma superfície ,
porque toda radiação emitida por
atinge alguma outra face da cavidade fechada.
- Reciprocidade útil:
Como aqui todas as áreas são iguais (
), temos
.
Passo 3
Determinação dos fatores de vista no cubo (explicação e valores usados).
- Considere uma face do cubo (por exemplo, a base). Ela “vê” cinco outras faces: o teto (oposta) e quatro faces laterais (adjacentes). Por simetria as quatro faces laterais são equivalentes entre si, logo têm o mesmo
em relação à base. - Portanto, escrevemos
onde
é o view factor base→teto e
é o view factor base→cada face lateral.
- Para o cubo existe um resultado geométrico conhecido (padrão em problemas de troca radiativa entre faces de um cubo): os view factors são
Verificação rápida:
. Esses valores obedecem à simetria e à conservação de energia; são os valores usuais para um cubo de faces iguais.
(Comentário amiguinho: esses valores vêm do cálculo do ângulo sólido médio que uma face subtende sobre outra num cubo; não é necessário refazer a integral aqui em prova se esse resultado for conhecido ou tabelado.)
Passo 4
Cálculo da potência entre a base e as faces laterais (item a).
Usamos a fórmula para a troca entre a base e todas as quatro laterais:
Substituindo
e os dados:
Primeiro as potências das temperaturas:
Diferença:
Agora o coeficiente multiplicador:
Multiplicando:
Interpretação: como
, o sinal positivo indica que a base está perdendo calor para as faces laterais e a potência total trocada entre base e todas as faces laterais é aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo da potência entre a superfície superior (teto) e a base (item b).
Usamos:
Como
(reciprocidade e simetria) e
, temos:
Diferença:
Coeficiente:
Multiplicando:
Interpretação: como
, o teto transfere calor para a base; a potência líquida do teto para a base é aproximadamente
.
Passo 6
Cálculo do fluxo líquido a partir da superfície da base (item c).
O fluxo líquido a partir da base para todas as outras superfícies é a soma das trocas da base com o teto e com as quatro laterais:
Cuidadosamente: já calculamos
como positivo (base → laterais). Para a troca entre base e teto, nós calculamos
(teto → base) na etapa anterior; portanto
. Então
Substituindo os valores numéricos:
Interpretação: o sinal negativo indica que a base, no balanço total por radiação com as outras faces, está ganhando calor (ou seja, recebe mais calor do teto do que perde para as laterais). O módulo é
.
Resposta
(a)
(da base para as faces laterais).\n
(b) (do teto para a base).\n
(c) (valor negativo indica que, no balanço radiativo, a base recebe líquido cerca de
).
(b)
(c)