Um gradiente de pressão de -20 \mathrm{~Pa} / \mathrm{m} existe em um escoamento de ar a 50^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=1,95 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}\right) entre duas placas paralelas, horizontais, distantes 6 mm entre si. O perfil de velocidade é expresso como u(y)=\frac{1}{2 \mu} \frac{d p}{d x}\left(y^{2}-a y\right)+\frac{U}{a} y, em que a representa a distância entre as placas e y a distância vertical medida a partir da face superior da placa inferior. Determine a velocidade da placa superior de modo que:
(a) A tensão de cisalhamento na placa superior seja nula
(b) A velocidade em y = 2 mm seja igual a 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
gradiente de pressão: \dfrac{dp}{dx}=-20\\ \mathrm{Pa/m}.
viscosidade dinâmica do ar: \mu=1{,}95\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
distância entre placas: a=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}.
perfil de velocidade:u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\bigl(y^{2}-a y\bigr)+\frac{U}{a}\,y,onde y é a coordenada medida a partir da face superior da placa inferior (ou seja, y=0 na placa inferior e y=a na placa superior) e U é a velocidade da placa superior (quantidade a determinar).
O que o enunciado pede:
(a) determinar U tal que a tensão de cisalhamento na placa superior seja nula;
(b) determinar U tal que u(y=2\\ \mathrm{mm})=2\\ \mathrm{m/s}.
Passo 2
Entender a tensão de cisalhamento e derivar a condição para o caso (a).
A tensão de cisalhamento em escoamentos newtonianos planos é dada por\tau(y)=\mu\frac{du}{dy},onde \tau tem unidades de \mathrm{Pa}, \mu é a viscosidade dinâmica e du/dy é o gradiente de velocidade.
Primeiro calculamos a derivada du/dy da expressão dada:\frac{du}{dy}=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\cdot(2y-a)+\frac{U}{a}.Explicando: derivou-se y^{2}-a y que resulta em 2y-a, e a derivada de (U/a)y é U/a.
A condição “tensão de cisalhamento na placa superior seja nula” significa \tau(y=a)=0, isto é\mu\frac{du}{dy}\Big|_{y=a}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dy}\Big|_{y=a}=0.
Avaliando a expressão de du/dy em y=a:\frac{du}{dy}\Big|_{y=a}=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\cdot(2a-a)+\frac{U}{a} =\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a+\frac{U}{a}.
Resolver para U com a condição \frac{du}{dy}\big|_{y=a}=0:\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a+\frac{U}{a}=0 \quad\Rightarrow\quad U=-\frac{a^{2}}{2\mu}\frac{dp}{dx}.Essa é a expressão algébrica que vamos usar no item (a).
Calcular o fator -\dfrac{a^{2}}{2\mu}\dfrac{dp}{dx}. Primeiro 2\mu=2\times1{,}95\times10^{-5}=3{,}90\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Agora o numerador com \dfrac{dp}{dx}: -a^{2}\dfrac{dp}{dx}=-(3{,}6\times10^{-5})(-20)=3{,}6\times10^{-4}.
Dividindo:U=\frac{3{,}6\times10^{-4}}{3{,}90\times10^{-5}}=\frac{3{,}6}{3{,}90}\times10^{1}\approx0{,}92308\times10^{1}=9{,}2308\\ \text{(ops, atenção: revisar)}.çã(Vou refazer com cuidado a ordem para evitar erro aritmético.)
Recomputando de forma direta e clara:U=-\frac{a^{2}}{2\mu}\frac{dp}{dx} =-\frac{(0{,}006)^{2}}{2(1{,}95\times10^{-5})}\cdot(-20).Calcular passo a passo:(0{,}006)^{2}=3{,}6\times10^{-5}.
Observação: o sinal positivo indica que a placa superior deve mover-se no sentido positivo de u (o mesmo sentido do fluxo induzido pelo gradiente de pressão negativo).
Passo 4
Resolver o item (b): achar U tal que u(y=2\\ \mathrm{mm})=2\\ \mathrm{m/s}.
Partimos da expressão do perfil:u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\bigl(y^{2}-a y\bigr)+\frac{U}{a}y.
Isolar U:\frac{U}{a}y= u(y)-\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\bigl(y^{2}-a y\bigr) \quad\Rightarrow\quad U=\left[\,u(y)-\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\bigl(y^{2}-a y\bigr)\right]\frac{a}{y}.Essa é a fórmula algébrica para calcular U a partir de um valor pedido de u em uma posição y.
Passo 5
Cálculo numérico do item (b) passo a passo.
Converter y=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
Calcular y^{2}-a y:y^{2}=(0{,}002)^{2}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}, \quad a y=(0{,}006)(0{,}002)=1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},
Calcular a contribuição do termo de pressão:\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\bigl(y^{2}-a y\bigr) =\frac{1}{2(1{,}95\times10^{-5})}\times(-20)\times(-8{,}0\times10^{-6}).Primeiro o produto \dfrac{dp}{dx}\,(y^{2}-a y)=(-20)\times(-8{,}0\times10^{-6})=1{,}6\times10^{-4}.
Depois dividir por 2\mu=3{,}90\times10^{-5}:\frac{1{,}6\times10^{-4}}{3{,}90\times10^{-5}}=\frac{1{,}6}{3{,}90}\times10^{1}\approx0{,}4102564\times10^{1}=4{,}102564\\ \mathrm{m/s}.Então o termo de pressão vale aproximadamente 4{,}10256\\ \mathrm{m/s}.
Agora usar u(y)=2\\ \mathrm{m/s} e a fórmula para U:U=\left[\,2 - 4{,}102564\right]\frac{a}{y}=( -2{,}102564)\frac{0{,}006}{0{,}002}.Calcular a razão a/y=0{,}006/0{,}002=3.
PortantoU=-2{,}102564\times3=-6{,}307692\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a placa superior precisa mover-se no sentido oposto ao sentido positivo de u para que em y=2\\ \mathrm{mm} a velocidade seja 2\\ \mathrm{m/s}, dado o efeito combinado do gradiente de pressão.