1. Considere a função f(x)=1+x^{2}, definida no intervalo [-1,2]. Pelo TVMI, existe c \in[-1,2] tal que:
\int_{-1}^{2} f(x) d x=f\text{(c)}(2-(-1))
Encontre o número c que satisfaz a equação acima.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=1+x^{2} definida no intervalo [-1,2] e afirma que, pelo TVMI, existe c\in[-1,2] tal que
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = f\text{(c)}\bigl(2-(-1)\bigr).
O que é pedido: encontrar o(s) número(s) c em [-1,2] que satisfaçam a equação acima.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral definida \displaystyle \int_{-1}^{2} f(x)\,dx.
Explicando a técnica usada (antiderivada): para integrar uma soma, integra-se termo a termo. Uma antiderivada de 1 é x. Uma antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} volta-se a x^{2}. Assim uma antiderivada de f(x)=1+x^{2} é
F(x)=x+\dfrac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para a integral definida:
\int_{-1}^{2} \bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = F(2)-F(-1).
Calculemos F(2) e F(-1):
F(2)=2+\dfrac{2^{3}}{3}=2+\dfrac{8}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{14}{3},
F(-1)=-1+\dfrac{(-1)^{3}}{3}=-1-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{14}{3}-\bigl(-\dfrac{4}{3}\bigr)=\dfrac{18}{3}=6.

Passo 3

Agora voltamos à equação dada pelo enunciado:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = f\text{(c)}\bigl(2-(-1)\bigr).
Substituindo a integral calculada e o comprimento do intervalo:
6 = f\text{(c)}\cdot 3.
Logo
f\text{(c)}=\dfrac{6}{3}=2.

Passo 4

Resolver f\text{(c)}=2. Lembrando f\text{(c)}=1+c^{2}, temos
1+c^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad c^{2}=1.
Dessa equação segue
c=\pm 1,
ou seja c=-1 ou c=1. Ambos pertencem ao intervalo [-1,2], então ambos satisfazem a equação dada.
Observação importante (para não confundir): algumas formulações do TVMI garantem a existência de um c em (a,b) (aberto). Se a condição exigisse c\in(-1,2), apenas c=1 estaria no interior; como o enunciado permite c\in[-1,2], ambos os valores são aceitáveis.

Passo 5

Verificação rápida por substituição:
f(-1)=1+(-1)^{2}=2,\qquad f(1)=1+1^{2}=2,
e 2\cdot 3=6, que coincide com a integral calculada. Tudo bate.

Resposta

c=-1 ou c=1

Exercícios relacionados