- Considere a função
, definida no intervalo
. Pelo TVMI, existe
tal que:
Encontre o número
que satisfaz a equação acima.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e afirma que, pelo TVMI, existe
tal que
O que é pedido: encontrar o(s) número(s)
em
que satisfaçam a equação acima.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a integral definida
.
Explicando a técnica usada (antiderivada): para integrar uma soma, integra-se termo a termo. Uma antiderivada de
é
. Uma antiderivada de
é
, porque ao derivar
volta-se a
. Assim uma antiderivada de
é
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para a integral definida:
Calculemos
e
:
Portanto
Passo 3
Agora voltamos à equação dada pelo enunciado:
Substituindo a integral calculada e o comprimento do intervalo:
Logo
Passo 4
Resolver
. Lembrando
, temos
Dessa equação segue
ou seja
ou
. Ambos pertencem ao intervalo
, então ambos satisfazem a equação dada.
Observação importante (para não confundir): algumas formulações do TVMI garantem a existência de um
em
(aberto). Se a condição exigisse
, apenas
estaria no interior; como o enunciado permite
, ambos os valores são aceitáveis.
Passo 5
Verificação rápida por substituição:
e
, que coincide com a integral calculada. Tudo bate.