- Enuncie o Teorema do valor médio para integrais (TVMI) visto em sala de aula e dê uma interpretação geométrica do teorema para o caso particular em que a função
no enunciado é constante igual a 1 .
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Enunciar o Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI) visto em sala de aula.
- Dar uma interpretação geométrica do teorema no caso particular em que a função
é constante igual a .
Informações dadas (explícitas ou implícitas que devo usar):
- Há uma função
contínua em um intervalo fechado . - Há uma função
integrável em com alguma condição sobre o sinal (essa condição faz parte do enunciado padrão do TVMI). - No caso particular,
para todo .
Passo 2
Enunciado formal do TVMI (forma padrão usada em provas):
Seja contínua em
e seja
integrável em
que não muda de sinal em
(ou seja,
para todo
ou
para todo
), e suponha que
Seja
Então existe
tal que
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é a função cuja média “ponderada” procuramos; a hipótese de continuidade em é importante porque garante valores extremos e o teorema do valor intermédio. -
é a função “peso” (pode ser positiva, negativa, mas não deve mudar de sinal e seu integral não pode ser zero). -
é a integral (área algébrica) do produto . - A igualdade diz que essa integral é igual ao valor de
em algum ponto vezes a integral de — ou seja, existe um ponto que representa a média ponderada de com pesos .
Passo 3
Demonstração (passo a passo, didática, que serve para comprovar o enunciado — útil para a prova):
- Como
é contínua em , pelo Teorema do Valor Extremo existe e tais que
Isto significa que para todo
vale
- Multiplicando essa desigualdade por
(lembrando a hipótese que não muda de sinal) e integrando em obtemos, caso ,
(Se
o raciocínio é análogo: as desigualdades mantêm-se ao considerar o sinal comum de
.)
- Como
, podemos dividir a cadeia de desigualdades pelo número . No caso obtemos
- A fração do meio é um número real entre
e . Como é contínua em , pelo Teorema do Valor Intermédio (ou pelo fato de que a imagem contínua de um intervalo é um intervalo), assume todos os valores entre e . Portanto existe tal que
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos exatamente
Isto conclui a demonstração do TVMI nas hipóteses dadas.
Observação prática para a prova: a prova que o examinador espera costuma ser exatamente essa sequência: pegar
e
, integrar as desigualdades, dividir e usar continuidade para garantir a existência de
.
Passo 4
Caso particular
— aplicação e interpretação:
-
Substituindo
no enunciado, temos . A hipótese é satisfeita desde que . -
O TVMI dá existência de
tal que
-
Interpretando geometricamente: a integral
representa a área sob o gráfico de e acima do eixo (ou a área algébrica se toma valores negativos). A igualdade acima diz que essa área é exatamente igual à área de um retângulo cuja base é e cuja altura é . Ou seja, existe uma altura tal que o retângulo com base e essa altura tem a mesma área que a região sob entre e . -
Outra forma útil e muito usada em provas: a altura do retângulo é a média aritmética (valor médio) de
no intervalo. Define-se o valor médio de em por
O TVMI com
garante que existe
tal que
- Exemplo concreto e simples para fixar: seja
em . Calcula-se
Como
, a igualdade do TVMI pede
, logo
. De fato
e geometricamente a área do triângulo (sob
de
a
) é
, igual à área do retângulo base
e altura
.
Passo 5
Observações finais úteis para a prova (como um amigo encorajando):
- Sempre verifique as hipóteses: continuidade de
em e que não muda de sinal e tem integral não nula. Se alguma hipótese falhar, o teorema pode não valer. - A existência de
não garante unicidade; em muitos casos há vários pontos que satisfazem a igualdade. - No enunciado da prova, é bom escrever claramente os passos: extremos
, integrar desigualdade, dividir por , aplicar continuidade para concluir existência de . - Respira fundo — esse teorema é uma ferramenta visual muito útil: “área sob a curva = área do retângulo de base
e altura o valor médio”.
Resposta
Teorema do valor médio para integrais (TVMI): Seja
contínua em
e
integrável em
que não muda de sinal em
, com
. Então existe
tal que
Interpretação geométrica para
: existe
tal que
ou seja, a área sob o gráfico de
em
é igual à área de um retângulo de base
e altura
; o valor
é o valor médio de
no intervalo, isto é,
.