1. Enuncie o Teorema do valor médio para integrais (TVMI) visto em sala de aula e dê uma interpretação geométrica do teorema para o caso particular em que a função varphi no enunciado é constante igual a 1 .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Enunciar o Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI) visto em sala de aula.
  • Dar uma interpretação geométrica do teorema no caso particular em que a função \varphi é constante igual a 1.
Informações dadas (explícitas ou implícitas que devo usar):
  • Há uma função f contínua em um intervalo fechado [a,b].
  • Há uma função \varphi integrável em [a,b] com alguma condição sobre o sinal (essa condição faz parte do enunciado padrão do TVMI).
  • No caso particular, \varphi(x)=1 para todo x\in[a,b].

Passo 2

Enunciado formal do TVMI (forma padrão usada em provas):
Seja f contínua em [a,b] e seja \varphi integrável em [a,b] que não muda de sinal em [a,b] (ou seja, \varphi(x)\ge 0 para todo x ou \varphi(x)\le 0 para todo x), e suponha que
\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx \neq 0.
Então existe c\in(a,b) tal que
\int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx = f\text{(c)}\,\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • f é a função cuja média “ponderada” procuramos; a hipótese de continuidade em [a,b] é importante porque garante valores extremos e o teorema do valor intermédio.
  • \varphi é a função “peso” (pode ser positiva, negativa, mas não deve mudar de sinal e seu integral não pode ser zero).
  • \int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx é a integral (área algébrica) do produto f\varphi.
  • A igualdade diz que essa integral é igual ao valor de f em algum ponto c vezes a integral de \varphi — ou seja, existe um ponto que representa a média ponderada de f com pesos \varphi.

Passo 3

Demonstração (passo a passo, didática, que serve para comprovar o enunciado — útil para a prova):
  1. Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema do Valor Extremo existe m e M tais que
m=\min_{x\in[a,b]} f(x),\qquad M=\max_{x\in[a,b]} f(x).
Isto significa que para todo x\in[a,b] vale
m \le f(x) \le M.
  1. Multiplicando essa desigualdade por \varphi(x) (lembrando a hipótese que \varphi não muda de sinal) e integrando em [a,b] obtemos, caso \varphi(x)\ge 0,
m\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx \le \int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx \le M\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.
(Se \varphi\le 0 o raciocínio é análogo: as desigualdades mantêm-se ao considerar o sinal comum de \varphi.)
  1. Como \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx\neq 0, podemos dividir a cadeia de desigualdades pelo número \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx. No caso \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx>0 obtemos
m \le \frac{\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx}{\displaystyle\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx} \le M.
  1. A fração do meio é um número real entre m e M. Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema do Valor Intermédio (ou pelo fato de que a imagem contínua de um intervalo é um intervalo), f assume todos os valores entre m e M. Portanto existe c\in[a,b] tal que
f\text{(c)} = \frac{\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx}{\displaystyle\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx}.
  1. Multiplicando ambos os lados por \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx obtemos exatamente
\int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx = f\text{(c)}\,\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.
Isto conclui a demonstração do TVMI nas hipóteses dadas.
Observação prática para a prova: a prova que o examinador espera costuma ser exatamente essa sequência: pegar m e M, integrar as desigualdades, dividir e usar continuidade para garantir a existência de c.

Passo 4

Caso particular \varphi\equiv 1 — aplicação e interpretação:
  1. Substituindo \varphi(x)=1 no enunciado, temos \int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx=\int_{a}^{b}1\,dx = b-a. A hipótese \int_{a}^{b}\varphi\neq 0 é satisfeita desde que b>a.
  2. O TVMI dá existência de c\in(a,b) tal que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f\text{(c)}\,(b-a).
  1. Interpretando geometricamente: a integral \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área sob o gráfico de y=f(x) e acima do eixo x (ou a área algébrica se f toma valores negativos). A igualdade acima diz que essa área é exatamente igual à área de um retângulo cuja base é (b-a) e cuja altura é f\text{(c)}. Ou seja, existe uma altura f\text{(c)} tal que o retângulo com base [a,b] e essa altura tem a mesma área que a região sob f entre a e b.
  2. Outra forma útil e muito usada em provas: a altura do retângulo é a média aritmética (valor médio) de f no intervalo. Define-se o valor médio de f em [a,b] por
f_{\text{médio}}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.é
O TVMI com \varphi\equiv 1 garante que existe c\in(a,b) tal que
f\text{(c)}=f_{\text{médio}}.é
  1. Exemplo concreto e simples para fixar: seja f(x)=x em [0,2]. Calcula-se
\int_{0}^{2} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 2.
Como b-a=2, a igualdade do TVMI pede 2 = f\text{(c)}\cdot 2, logo f\text{(c)}=1. De fato f(1)=1 e geometricamente a área do triângulo (sob y=x de 0 a 2) é 2, igual à área do retângulo base 2 e altura 1.

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (como um amigo encorajando):
  • Sempre verifique as hipóteses: continuidade de f em [a,b] e que \varphi não muda de sinal e tem integral não nula. Se alguma hipótese falhar, o teorema pode não valer.
  • A existência de c não garante unicidade; em muitos casos há vários pontos c que satisfazem a igualdade.
  • No enunciado da prova, é bom escrever claramente os passos: extremos m,M, integrar desigualdade, dividir por \int\varphi, aplicar continuidade para concluir existência de c.
  • Respira fundo — esse teorema é uma ferramenta visual muito útil: “área sob a curva = área do retângulo de base (b-a) e altura o valor médio”.

Resposta

Teorema do valor médio para integrais (TVMI): Seja f contínua em [a,b] e \varphi integrável em [a,b] que não muda de sinal em [a,b], com \displaystyle\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx\neq 0. Então existe c\in(a,b) tal que
\int_{a}^{b} f(x)\,\varphi(x)\,dx = f\text{(c)}\,\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.
Interpretação geométrica para \varphi\equiv 1: existe c\in(a,b) tal que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f\text{(c)}\,(b-a),
ou seja, a área sob o gráfico de f em [a,b] é igual à área de um retângulo de base (b-a) e altura f\text{(c)}; o valor f\text{(c)} é o valor médio de f no intervalo, isto é, f\text{(c)}=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

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