Considere a função f(x, y)=x^{2}+2 x y-3 y^{2} e a parametrização x(t)=t^{2}-1 e y(t)=t^{3}+1.
(a) Calcule as derivadas parciais de f.
(b) Use a regra da cadeia para calcular d f / d t em termos das variáveis originais e de t.
(c) Determine f(t).
(d) Calcule d f / d t a partir do item anterior.
(e) Substitua os valores de x e y pelas suas expressões em t na resposta to item (b) e verifique que a resposta é a mesma do item (d).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+2xy-3y^{2}
e a parametrização
x(t)=t^{2}-1,\quad y(t)=t^{3}+1.
O conteúdo aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia em várias variáveis. Vamos precisar calcular \partial f/\partial x, \partial f/\partial y, aplicar
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt},
e também compor diretamente f(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr) para comparar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=x^{2}+2xy-3y^{2},
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}\bigr) =2x+2y+0 =2x+2y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}\bigr) =0+2x-6y =2x-6y.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia. Primeiro
\frac{dx}{dt}=2t, \quad \frac{dy}{dt}=3t^{2}.
Logo
\frac{df}{dt} =\bigl(2x+2y\bigr)\,2t+\bigl(2x-6y\bigr)\,3t^{2}.
Esse é o \,df/dt em termos de x,y e t.

Passo 4

Agora compor f com a parametrização:
f(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr) =(t^{2}-1)^{2} +2\,(t^{2}-1)(t^{3}+1) -3\,(t^{3}+1)^{2}.
Expandindo e somando termos, obtemos
f(t)=-3t^{6}+2t^{5}+t^{4}-8t^{3}-4.

Passo 5

Diferenciando diretamente f(t):
\frac{d}{dt}\bigl(-3t^{6}+2t^{5}+t^{4}-8t^{3}-4\bigr) =-18t^{5}+10t^{4}+4t^{3}-24t^{2}.

Passo 6

Por fim, substituir x=t^{2}-1 e y=t^{3}+1 na expressão da regra da cadeia do Passo 3:
2x+2y=2\bigl(t^{2}-1+t^{3}+1\bigr)=2t^{3}+2t^{2}, \quad 2x-6y=2(t^{2}-1)-6(t^{3}+1)=-6t^{3}+2t^{2}-8.
Então
\frac{df}{dt} =(2t^{3}+2t^{2})\,2t+(-6t^{3}+2t^{2}-8)\,3t^{2} =4t^{4}+4t^{3}-18t^{5}+6t^{4}-24t^{2} =-18t^{5}+10t^{4}+4t^{3}-24t^{2},
que coincide com o resultado do Passo 5.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2x-6y.
(b) \displaystyle \frac{df}{dt}=(2x+2y)\,2t+(2x-6y)\,3t^{2}.
(c) \displaystyle f(t)=-3t^{6}+2t^{5}+t^{4}-8t^{3}-4.
(d) \displaystyle \frac{df}{dt}=-18t^{5}+10t^{4}+4t^{3}-24t^{2}.
(e) Ao substituir x=t^{2}-1 e y=t^{3}+1 em (b), recupera-se exatamente o resultado de (d).

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