Em cada item, determine a matriz hessiana de f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
f(x, y, z)=\ln (x+2 y+3 z), P=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a matriz hessiana de
f(x,y,z)=\ln(x+2y+3z)
no ponto P=(1,1,1).
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem para montar a hessiana.

Passo 2

Defina a função auxiliar
u(x,y,z)=x+2y+3z,
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f(x,y,z)=\ln u(x,y,z).
Pelas regras de derivação de \ln, as derivadas parciais de primeira ordem são
f_x=\frac{1}{u},\quad f_y=\frac{2}{u},\quad f_z=\frac{3}{u}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem, lembrando que u aparece no denominador:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{u}\Bigr)=-\frac{1}{u^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{u}\Bigr)=-\frac{2}{u^2},\quad f_{xz}=-\frac{3}{u^2},
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2}{u}\Bigr)=-\frac{4}{u^2},\quad f_{yz}=-\frac{6}{u^2},\quad f_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{3}{u}\Bigr)=-\frac{9}{u^2}.

Passo 4

No ponto P=(1,1,1) temos
u(1,1,1)=1+2\cdot1+3\cdot1=6,
então u^2=36. Substituindo em cada derivada de segunda ordem:
f_{xx}(P)=-\tfrac{1}{36},\; f_{xy}(P)=-\tfrac{2}{36}=-\tfrac{1}{18},\; f_{xz}(P)=-\tfrac{3}{36}=-\tfrac{1}{12},
f_{yy}(P)=-\tfrac{4}{36}=-\tfrac{1}{9},\; f_{yz}(P)=-\tfrac{6}{36}=-\tfrac{1}{6},\; f_{zz}(P)=-\tfrac{9}{36}=-\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Organizando em matriz simétrica (índices x,y,z em linhas e colunas), a hessiana em P é
H_f(1,1,1)= \begin{pmatrix} f_{xx}(P) & f_{xy}(P) & f_{xz}(P)\\\ f_{xy}(P) & f_{yy}(P) & f_{yz}(P)\\\ f_{xz}(P) & f_{yz}(P) & f_{zz}(P) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{36} & -\tfrac{1}{18} & -\tfrac{1}{12}\\[6pt] -\tfrac{1}{18} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{1}{6} \\[6pt] -\tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.]

Resposta

H_f(1,1,1)= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{36} & -\tfrac{1}{18} & -\tfrac{1}{12}\\[6pt] -\tfrac{1}{18} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{1}{6} \\[6pt] -\tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.]

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