Considere a função g(x, y) = (x - 3y) / (x^2 - 6xy + 9y^2 + x - 3y).
Determine, se existir, o valor de g(3, 1) para que a função g seja contínua no ponto 3,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa descobrir se existe um valor para que faça a função ser contínua no ponto . Isso envolve o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o denominador quando e . Substituindo:
E o numerador também:
Então, temos uma forma indeterminada no ponto , o que significa que precisamos investigar o limite da função nesse ponto para ver se ele existe.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a função para facilitar o cálculo do limite. Observando o denominador:
Então, o denominador pode ser fatorado como:
Agora, substituindo de volta na função:

Passo 4

Agora que simplificamos a função, podemos calcular o limite quando se aproxima de :
Substituindo e :
Então:

Resposta

Para que a função seja contínua no ponto , devemos definir .

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