Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = ln(raiz(x^2 * e^(2 * y) + x^2 * e^(-2 * y)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com funções compostas e derivadas parciais. Basicamente, vamos reescrever a função dada como uma composição de outras funções mais simples e, em seguida, calcular as derivadas de em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super importante para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Podemos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos. Sabemos que , então:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever como uma composição de funções. Vamos definir algumas funções intermediárias:
  • Seja
  • Então,
Agora, temos como uma composição de e em termos de e .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Primeiro, vamos calcular :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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