Q 5 *
Considere a função f(x)=3 x^{2}+4 x+5 e calcule uma aproximação para f(1.001) utilizando a reta tangente a f no ponto (1,12) :
(a) 12.01
(b) 11.99
(c) 12.001
(d) 12.015
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x^{2}+4x+5 e pede uma aproximação para f(1,001) usando a reta tangente a f no ponto (1,12). As opções são:
(a) 12,01
(b) 11,99
(c) 12,001
(d) 12,015

Passo 2

Ideia que vamos usar (aula rápida e prática): a reta tangente a uma função f em x=a fornece a aproximação linear (aproximação de primeira ordem)
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui f'(a) é a derivada de f em a, que representa a inclinação (o “declive”) da reta tangente. Para polinômios a derivada é obtida termo a termo: se f(x)=3x^{2}+4x+5, então a derivada é

Passo 3

Calcule a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+4x+5\bigr)=6x+4.
Avalia em x=1:
f'(1)=6\cdot1+4=10.

Passo 4

Equação da reta tangente em x=1:
L(x)=f(1)+f'(1)(x-1).
Como f(1)=3\cdot1^{2}+4\cdot1+5=12 e f'(1)=10, temos
L(x)=12+10(x-1).
Simplificando,
L(x)=10x+2.

Passo 5

Agora aproximar f(1,001) pela reta:
L(1,001)=12+10(1,001-1)=12+10\cdot0,001=12+0,01=12,01.
Comentário sobre o erro (pra ficar tranquilo): a segunda derivada é f''(x)=6, então o resto da aproximação vale aproximadamente
\frac{f''(\xi)}{2}(x-1)^{2}\le \frac{6}{2}\cdot(0,001)^{2}=3\cdot10^{-6}=0,000003,
ou seja, o valor real \,f(1,001)\, difere de 12,01 por apenas cerca de 0,000003. A aproximação pela reta é portanto muito boa.

Resposta

(a) 12,01

Exercícios relacionados