Q3 *
Considere as funções f(x)=x^{3}+10 x^{2} e g(x)=10 x^{2}+90 x+1000. Assinale o valor positivo de x a partir do qual f cresce mais rápido que g :
(a) 5.25
(b) \sqrt{27}
(c) \sqrt{30}
(d) 5.93
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede o valor positivo de x a partir do qual f cresce mais rápido que g. Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{3}+10x^{2}.
  • g(x)=10x^{2}+90x+1000.
  • Opções dadas:
    • (a) 5{,}25
    • (b) \sqrt{27}
    • (c) \sqrt{30}
    • (d) 5{,}93
O que se pede: identificar o valor positivo de x a partir do qual a taxa de crescimento de f é maior que a taxa de crescimento de g.

Passo 2

Entendendo “cresce mais rápido”: para funções diferenciáveis, a “taxa de crescimento” instantânea em um ponto é o valor da derivada. Ou seja, f cresce mais rápido que g em um ponto x quando
f'(x)>g'(x).
Breve explicação da regra usada (regra do poder): se h(x)=x^{n} com n inteiro, então a derivada é h'(x)=n x^{n-1}. Para constantes multiplicativas, a derivada de a\cdot u(x) é a\cdot u'(x). Aplicaremos essas regras a polinômios.

Passo 3

Calcular as derivadas usando a regra do poder e linearidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+10x^{2}\bigr)=3x^{2}+20x.
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(10x^{2}+90x+1000\bigr)=20x+90.

Passo 4

Comparar as derivadas impondo f'(x)>g'(x):
3x^{2}+20x>20x+90.
Subtrair 20x dos dois lados:
3x^{2}>90.
Dividir por 3 (positivo):
x^{2}>30.
Como estamos interessados no valor positivo de x, isto equivale a
x>\sqrt{30}.
No ponto x=\sqrt{30} temos igualdade f'(\sqrt{30})=g'(\sqrt{30}); para x>\sqrt{30} temos f'(x)>g'(x), ou seja, a partir de \sqrt{30} (e estritamente depois dele) f cresce mais rápido que g.

Passo 5

Avaliação numérica rápida para comparar com as opções:
\sqrt{30}\approx5{,}4772,
portanto a opção que corresponde exatamente ao valor limite é a (c) \sqrt{30}.

Resposta

(c) \sqrt{30}

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