Q3 *
Considere as funções
e
. Assinale o valor positivo de
a partir do qual
cresce mais rápido que
:
(a) 5.25
(b)
(c)
(d) 5.93
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei
(a) 5.25
(b)
(c)
(d) 5.93
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede o valor positivo de
a partir do qual
cresce mais rápido que
. Informações fornecidas:
-
. -
. - Opções dadas:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (a)
O que se pede: identificar o valor positivo de
a partir do qual a taxa de crescimento de
é maior que a taxa de crescimento de
.
Passo 2
Entendendo “cresce mais rápido”: para funções diferenciáveis, a “taxa de crescimento” instantânea em um ponto é o valor da derivada. Ou seja,
cresce mais rápido que
em um ponto
quando
Breve explicação da regra usada (regra do poder): se
com
inteiro, então a derivada é
. Para constantes multiplicativas, a derivada de
é
. Aplicaremos essas regras a polinômios.
Passo 3
Calcular as derivadas usando a regra do poder e linearidade:
Passo 4
Comparar as derivadas impondo
:
Subtrair
dos dois lados:
Dividir por
(positivo):
Como estamos interessados no valor positivo de
, isto equivale a
No ponto
temos igualdade
; para
temos
, ou seja, a partir de
(e estritamente depois dele)
cresce mais rápido que
.
Passo 5
Avaliação numérica rápida para comparar com as opções:
portanto a opção que corresponde exatamente ao valor limite é a (c)
.
Resposta
(c)