Calcule o domínio de f e os pontos em que f é contínua.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} x - \dfrac{x}{|x|}, & x \neq 0,\\[6pt] -1, & x=0, \end{cases}
e pede o domínio de f e os pontos de continuidade. Vamos usar definição de domínio, simplificar usando a função sinal \operatorname{sgn}(x)=x/|x| e verificar continuidade em pontos internos e no ponto x=0.]
Passo 2
Determinar o domínio de f. A parte x - x/|x| exige x\neq0, mas a definição dá valor em x=0. Logo,
Simplificar f(x) para x\neq0 usando \operatorname{sgn}(x)=x/|x|:
Se x>0, então \operatorname{sgn}(x)=1 e
f(x)=x-1.
Se x<0, então \operatorname{sgn}(x)=-1 e
f(x)=x+1.
Passo 4
Verificar continuidade em x\neq0. Nas duas regiões (-\infty,0) e (0,\infty), f(x) é dada por funções polinomiais x+1 ou x-1, que são contínuas. Portanto, f é contínua em todo x\neq0.
Passo 5
Verificar continuidade em x=0 calculando os limites laterais e comparando com f(0)=-1: