Considere a função
f(x)= \begin{cases}x-x /|x| & , \quad x \neq 0 \\\\ -1 & , \quad x=0\end{cases}
Calcule o domínio de f e os pontos em que f é contínua.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} x - \dfrac{x}{|x|}, & x \neq 0,\\[6pt] -1, & x=0, \end{cases}
e pede o domínio de f e os pontos de continuidade. Vamos usar definição de domínio, simplificar usando a função sinal \operatorname{sgn}(x)=x/|x| e verificar continuidade em pontos internos e no ponto x=0.]

Passo 2

Determinar o domínio de f. A parte x - x/|x| exige x\neq0, mas a definição dá valor em x=0. Logo,
\Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}\cup\{0\}=\mathbb{R}.

Passo 3

Simplificar f(x) para x\neq0 usando \operatorname{sgn}(x)=x/|x|:
  • Se x>0, então \operatorname{sgn}(x)=1 e
f(x)=x-1.
  • Se x<0, então \operatorname{sgn}(x)=-1 e
f(x)=x+1.

Passo 4

Verificar continuidade em x\neq0. Nas duas regiões (-\infty,0) e (0,\infty), f(x) é dada por funções polinomiais x+1 ou x-1, que são contínuas. Portanto, f é contínua em todo x\neq0.

Passo 5

Verificar continuidade em x=0 calculando os limites laterais e comparando com f(0)=-1:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(x+1)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1.
Como \lim_{x\to0^-}f(x)=1\neq-1=\lim_{x\to0^+}f(x), o limite em 0 não existe e, portanto, f é descontínua em x=0.

Resposta

O domínio de f é \mathbb{R}.
A função f é contínua em todos os pontos x\neq0 e descontínua em x=0.

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