Considere a função
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-2} & , & x \neq 2 \\\\ 0 & , & x=2 \end{array}\right.
Estude a continuidade de f. Como modificar f para que ela seja contínua?

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x-2},&x\neq2,\\\\ 0,&x=2, \end{cases}
e pede para estudar sua continuidade e indicar como modificá-la para que seja contínua em todo o domínio.

Passo 2

Note que o numerador fatora como
x^2-3x+2=(x-1)(x-2),
então, para x\neq2,
f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1.

Passo 3

Como x-1 é um polinômio, ele é contínuo em todo \mathbb R. Logo, f é continuamente igual a x-1 em cada ponto em que x\neq2.

Passo 4

Para verificar a continuidade em x=2, calculamos o limite lateral:
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x-1)=1.
Mas o valor dado é f(2)=0, portanto
\lim_{x\to2}f(x)=1\neq0=f(2),
e isso mostra que f é descontínua em x=2.

Passo 5

Para tornar f\) contínua em \(x=2\), basta redefinir o valor em \(x=2\) igual ao limite, isto é, \[f(2)=1.
Dessa forma podemos escrever
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x-2},&x\neq2,\\\\ 1,&x=2, \end{cases}
o que equivale a dizer que f(x)=x-1\] para todo \(x.

Resposta

A função é contínua para todo x\neq2 e descontínua em x=2. Para que ela seja contínua em todo \mathbb R, basta definir f(2)=1.

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