Considere a função:
f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}
  1. Determine o domínio de f. É f contínua em seu domínio?
  2. Analise a diferenciabilidade de f em todo o domínio. Justifique.
  3. Existe reta tangente ao gráfico de f nos pontos x=0 e x=\frac{2}{\pi} ? Se sim, calcule-as. Alguma é horizontal?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \left(\dfrac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0, \\[6pt] 0 & \text{se } x=0.\end{cases}
As perguntas são:
  1. Determinar o domínio de f e dizer se f é contínua em seu domínio.
  2. Analisar onde f é diferenciável (isto é, em todo o domínio? em pontos isolados?) e justificar.
  3. Verificar se existe reta tangente ao gráfico de f nos pontos x=0 e x=\dfrac{2}{\pi}. Se existir, calcular a(s) reta(s) e dizer se alguma é horizontal.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A definição da função para x\neq0 é f(x)=x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • A definição no ponto x=0 é f(0)=0.]

Passo 2

Determinar o domínio e estudar continuidade.
  1. Domínio: A expressão x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está bem definida para todo x\neq0. No ponto x=0 o enunciado já deu o valor f(0)=0. Portanto a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é
\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}.
  1. Continuidade em x\neq0: Para x\neq0 a função é composta por operações elementares (produto de x^{2} por \sin(1/x)), e estas são contínuas em qualquer ponto onde são definidas. Assim f é contínua em todo x\neq0.
  2. Continuidade em x=0: preciso verificar \lim_{x\to0} f(x) e ver se é igual a f(0)=0. Uso o fato que |\sin t|\le 1 para todo t. Então, para x\neq0,
\left|x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le x^{2}.
Como \lim_{x\to0} x^{2}=0, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to0} x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Portanto \lim_{x\to0} f(x)=0=f(0), logo f é contínua em x=0.
Conclusão deste passo: f é contínua em todo o domínio \mathbb{R}.

Passo 3

Derivar f para x\neq0. Vou explicar as regras que uso antes de aplicar.
Regras usadas:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (u v)' = u'v + u v'. Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=\sin\!\big(\dfrac{1}{x}\big).
  • Regra da cadeia: se g(x)=\sin(h(x)) e h é diferenciável, então g'(x)=\cos(h(x))\cdot h'(x). No nosso caso h(x)=\dfrac{1}{x}.
Calcule passo a passo para x\neq0:
  1. u(x)=x^{2} tem derivada u'(x)=2x.
  2. v(x)=\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right). Pela regra da cadeia,
v'(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(\frac{d}{dx}\frac{1}{x}\right).
E \dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x^{2}}. Então
v'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
  1. Agora a regra do produto dá
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)+x^{2}\left(-\frac{1}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right).
Simplificando a segunda parcela cancela x^{2} e \dfrac{1}{x^{2}}, obtendo
\boxed{f'(x)=2x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\!\left(\frac{1}{x}\right),\quad \text{para } x\neq 0.}
Explicação intuitiva: o termo -\cos(1/x) vem da derivada do argumento oscilante \sin(1/x) e, por isso, mesmo que x^{2} anule grande parte da oscilação na função original, a derivada recupera uma parcela oscilante -\cos(1/x) que não é atenuada por x^{2}.

Passo 4

Analisar diferenciabilidade em x=0 usando a definição (diferença quociente). Lembrete: dizer que f é diferenciável em 0 significa que existe o limite
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}.
Calcule esse limite:
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{h}\right)}{h}=h\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)\quad\text{para }h\neq0.
Usando novamente |\sin t|\le 1,
\left|h\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)\right|\le |h|.
Como \lim_{h\to0}|h|=0, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{h\to0}h\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)=0.
Portanto o limite da diferença quociente existe e é 0. Conclui-se que f é diferenciável em x=0 e
\boxed{f'(0)=0.}
Observação útil para a prova: diferenciabilidade implica continuidade, então já era de esperar que f fosse contínua em 0; aqui mostramos de forma direta que a derivada em 0 existe.

Passo 5

Resumo da diferenciabilidade em todo o domínio e comentário sobre continuidade da derivada.
  • Para x\neq0 temos explicitamente f'(x)=2x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)-\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right), portanto f é diferenciável em todo x\neq0.
  • Em x=0 vimos que f'(0)=0. Logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}.
Agora um comentário importante (muito comum em exercícios): a derivada f' não é contínua em 0. Para ver isso mostro que \lim_{x\to0} f'(x) não existe. Use duas sequências que tendem a 0 e que façam 1/x cair em pontos onde \cos tem valores extremos:
  • Tome x_{n}=\dfrac{1}{2\pi n}. Então x_{n}\to0 quando n\to\infty, e 1/x_{n}=2\pi n. Assim
\sin\!\left(\frac{1}{x_{n}}\right)=\sin(2\pi n)=0,\qquad \cos\!\left(\frac{1}{x_{n}}\right)=1.
Pela fórmula de f'(x) para x\neq0,
f'(x_{n})=2x_{n}\cdot 0 - 1 = -1.
  • Tome y_{n}=\dfrac{1}{\pi(2n+1)}. Então y_{n}\to0, e 1/y_{n}=\pi(2n+1). Assim
\sin\!\left(\frac{1}{y_{n}}\right)=0,\qquad \cos\!\left(\frac{1}{y_{n}}\right)=-1.
Logo
f'(y_{n})=2y_{n}\cdot 0 - (-1)=+1.
Portanto os valores de f'(x) próximos de 0 assumem sucessivamente valores próximos de -1 e +1; o limite \lim_{x\to0} f'(x) não existe. Conclusão: f é diferenciável em todo \mathbb{R}, mas f' não é contínua em 0.

Passo 6

Existência e cálculo das retas tangentes nos pontos pedidos.
Lembrando: se f é diferenciável em a, a reta tangente ao gráfico de f em x=a é dada por
y=f(a)+f'(a)\,(x-a).
  1. Tangente em x=0:
  • f(0)=0 (dado).
  • f'(0)=0 (Passo 4).
    Portanto a reta tangente é
y=0+0\cdot(x-0)\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=0.}
Esta reta é horizontal porque o coeficiente angular (a derivada) é 0.
  1. Tangente em x=\dfrac{2}{\pi}:
  • Calcule f\!\left(\dfrac{2}{\pi}\right). Como 1/\big(\tfrac{2}{\pi}\big)=\tfrac{\pi}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1,
f\!\left(\frac{2}{\pi}\right)=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\cdot 1=\frac{4}{\pi^{2}}.
  • Calcule f'\!\left(\dfrac{2}{\pi}\right) usando a fórmula do Passo 3. Para x=\dfrac{2}{\pi} tem-se 1/x=\dfrac{\pi}{2}, então \sin(1/x)=1 e \cos(1/x)=0. Assim
f'\!\left(\frac{2}{\pi}\right)=2\cdot\frac{2}{\pi}\cdot 1 - 0=\frac{4}{\pi}.
  • A reta tangente é então
y=f\!\left(\frac{2}{\pi}\right)+f'\!\left(\frac{2}{\pi}\right)\left(x-\frac{2}{\pi}\right) =\frac{4}{\pi^{2}}+\frac{4}{\pi}\left(x-\frac{2}{\pi}\right).
Podemos simplificá-la: \dfrac{4}{\pi}\big(x-\dfrac{2}{\pi}\big)=\dfrac{4}{\pi}x-\dfrac{8}{\pi^{2}}, então
y=\frac{4}{\pi}x-\frac{8}{\pi^{2}}+\frac{4}{\pi^{2}}=\frac{4}{\pi}x-\frac{4}{\pi^{2}}.
Portanto a reta tangente em x=\dfrac{2}{\pi} é
\boxed{y=\dfrac{4}{\pi}x-\dfrac{4}{\pi^{2}}.}
O coeficiente angular é \dfrac{4}{\pi}\neq 0, logo esta reta não é horizontal.

Resposta

  1. \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}. Sim, f é contínua em todo o domínio.
  2. f é diferenciável em todo \mathbb{R}. Para x\neq0,
f'(x)=2x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\!\left(\frac{1}{x}\right),
e f'(0)=0. (Observação: f' não é contínua em 0.)
3. Sim. Em x=0 a reta tangente é y=0, que é horizontal. Em x=\dfrac{2}{\pi} a reta tangente é y=\dfrac{4}{\pi}x-\dfrac{4}{\pi^{2}}, que não é horizontal.

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