Determinar o domínio de f e dizer se f é contínua em seu domínio.
Analisar onde f é diferenciável (isto é, em todo o domínio? em pontos isolados?) e justificar.
Verificar se existe reta tangente ao gráfico de f nos pontos x=0 e x=\dfrac{2}{\pi}. Se existir, calcular a(s) reta(s) e dizer se alguma é horizontal.
Informações relevantes dadas no enunciado:
A definição da função para x\neq0 é f(x)=x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
A definição no ponto x=0 é f(0)=0.]
Passo 2
Determinar o domínio e estudar continuidade.
Domínio: A expressão x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está bem definida para todo x\neq0. No ponto x=0 o enunciado já deu o valor f(0)=0. Portanto a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é
\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}.
Continuidade em x\neq0: Para x\neq0 a função é composta por operações elementares (produto de x^{2} por \sin(1/x)), e estas são contínuas em qualquer ponto onde são definidas. Assim f é contínua em todo x\neq0.
Continuidade em x=0: preciso verificar \lim_{x\to0} f(x) e ver se é igual a f(0)=0. Uso o fato que |\sin t|\le 1 para todo t. Então, para x\neq0,
Explicação intuitiva: o termo -\cos(1/x) vem da derivada do argumento oscilante \sin(1/x) e, por isso, mesmo que x^{2} anule grande parte da oscilação na função original, a derivada recupera uma parcela oscilante -\cos(1/x) que não é atenuada por x^{2}.
Passo 4
Analisar diferenciabilidade em x=0 usando a definição (diferença quociente). Lembrete: dizer que f é diferenciável em 0 significa que existe o limite
Como \lim_{h\to0}|h|=0, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{h\to0}h\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)=0.
Portanto o limite da diferença quociente existe e é 0. Conclui-se que f é diferenciável em x=0 e
\boxed{f'(0)=0.}
Observação útil para a prova: diferenciabilidade implica continuidade, então já era de esperar que f fosse contínua em 0; aqui mostramos de forma direta que a derivada em 0 existe.
Passo 5
Resumo da diferenciabilidade em todo o domínio e comentário sobre continuidade da derivada.
Para x\neq0 temos explicitamente f'(x)=2x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)-\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right), portanto f é diferenciável em todo x\neq0.
Em x=0 vimos que f'(0)=0. Logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}.
Agora um comentário importante (muito comum em exercícios): a derivada f' não é contínua em 0. Para ver isso mostro que \lim_{x\to0} f'(x) não existe. Use duas sequências que tendem a 0 e que façam 1/x cair em pontos onde \cos tem valores extremos:
Tome x_{n}=\dfrac{1}{2\pi n}. Então x_{n}\to0 quando n\to\infty, e 1/x_{n}=2\pi n. Assim
Portanto os valores de f'(x) próximos de 0 assumem sucessivamente valores próximos de -1 e +1; o limite \lim_{x\to0} f'(x) não existe. Conclusão: f é diferenciável em todo \mathbb{R}, mas f' não é contínua em 0.
Passo 6
Existência e cálculo das retas tangentes nos pontos pedidos.
Lembrando: se f é diferenciável em a, a reta tangente ao gráfico de f em x=a é dada por
y=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Tangente em x=0:
f(0)=0 (dado).
f'(0)=0 (Passo 4).
Portanto a reta tangente é
y=0+0\cdot(x-0)\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=0.}
Esta reta é horizontal porque o coeficiente angular (a derivada) é 0.
Tangente em x=\dfrac{2}{\pi}:
Calcule f\!\left(\dfrac{2}{\pi}\right). Como 1/\big(\tfrac{2}{\pi}\big)=\tfrac{\pi}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1,
Calcule f'\!\left(\dfrac{2}{\pi}\right) usando a fórmula do Passo 3. Para x=\dfrac{2}{\pi} tem-se 1/x=\dfrac{\pi}{2}, então \sin(1/x)=1 e \cos(1/x)=0. Assim
e f'(0)=0. (Observação: f' não é contínua em 0.)
3. Sim. Em x=0 a reta tangente é y=0, que é horizontal. Em x=\dfrac{2}{\pi} a reta tangente é y=\dfrac{4}{\pi}x-\dfrac{4}{\pi^{2}}, que não é horizontal.