Questão 4:Um gás tem um volume inicial de
. O gás sofre uma expansão para um volume três vezes maior. Nesse processo, a pressão varia em função do volume de acordo com a seguinte equação:
(4.a)Calcule a pressão do gás após a expansão e o trabalho realizado na expansão do gás.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Volume inicial:
. - O gás se expande até um volume três vezes maior:
. - A pressão varia com o volume segundo a lei
- O enunciado pede:
- a pressão do gás após a expansão (isto é,
); - o trabalho realizado na expansão (isto é,
).
- a pressão do gás após a expansão (isto é,
Passo 2
Calcular o volume final
.
Passo 3
Calcular a pressão após a expansão usando
com
.
Primeiro calculemos
(pois é útil e evita erros de arredondamento):
A pressão inicial seria
, mas como
vale
. Portanto
Agora calculamos numericamente:
Fazendo as contas (multiplicações passo a passo):
Arredondando razoavelmente (dados originais têm 3 dígitos em
e em
), podemos escrever
Passo 4
Calcular o trabalho
com
.
Explicação curta da fórmula: o trabalho em um processo quasiestático em que a pressão é função do volume é a integral da pressão em relação ao volume. A antiderivada de
é
, porque a regra geral é
para
.
Assim
Para simplificar usamos
, então
portanto
Logo
Passo 5
Calcular numericamente
e o trabalho.
Primeiro
Então
Calcule passo a passo:
Arredondando com consistência (3 algarismos significativos vindos dos dados), fica apropriado
Passo 6
Verificação rápida de consistência: como
, quando
triplica a pressão multiplica por
. De fato
. O trabalho tem dimensão de energia (Pa·m^3 = J), como obtido.
Resposta
Pressão final:
Trabalho realizado:
Trabalho realizado: