Questão 4:Um gás tem um volume inicial de 2,58 m^{3}. O gás sofre uma expansão para um volume três vezes maior. Nesse processo, a pressão varia em função do volume de acordo com a seguinte equação:
p(V)=\left(4,17 P a / m^{9}\right) V^{3} .
(4.a)Calcule a pressão do gás após a expansão e o trabalho realizado na expansão do gás.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Volume inicial: V_i = 2,58\\ \mathrm{m}^3.
  • O gás se expande até um volume três vezes maior: V_f = 3V_i.
  • A pressão varia com o volume segundo a lei
p(V)=\left(4,17\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}^9\right)\,V^{3}.
  • O enunciado pede:
    1. a pressão do gás após a expansão (isto é, p_f=p(V_f));
    2. o trabalho realizado na expansão (isto é, W=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f} p(V)\,dV).

Passo 2

Calcular o volume final V_f.
V_f = 3V_i = 3\cdot(2,58\\ \mathrm{m}^3)=7,74\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Calcular a pressão após a expansão usando p(V)=kV^{3} com k=4,17\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}^9.
Primeiro calculemos V_i^{3} (pois é útil e evita erros de arredondamento):
V_i^{3}=(2,58)^3=17,178512\\ \mathrm{m}^9.
A pressão inicial seria p_i=kV_i^{3}, mas como V_f=3V_i vale V_f^{3}=3^{3}V_i^{3}=27V_i^{3}. Portanto
p_f = kV_f^{3}=k\cdot 27V_i^{3}=27\,(kV_i^{3})=27\,p_i.
Agora calculamos numericamente:
p_f = 4,17\cdot 27 \cdot 17,178512\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo as contas (multiplicações passo a passo):
kV_i^{3}=4,17\cdot 17,178512=71,63439504\\ \mathrm{Pa},
p_f=27\cdot 71,63439504=1934,12866608\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando razoavelmente (dados originais têm 3 dígitos em k e em V_i), podemos escrever
p_f\approx 1934,13\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular o trabalho W=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f} p(V)\,dV com p(V)=kV^{3}.
Explicação curta da fórmula: o trabalho em um processo quasiestático em que a pressão é função do volume é a integral da pressão em relação ao volume. A antiderivada de V^{3} é \dfrac{V^{4}}{4}, porque a regra geral é \displaystyle\int V^{n}\,dV=\dfrac{V^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Assim
W=\int_{V_i}^{V_f} kV^{3}\,dV = k\left[\frac{V^{4}}{4}\right]_{V_i}^{V_f}=\frac{k}{4}\left(V_f^{4}-V_i^{4}\right).
Para simplificar usamos V_f=3V_i, então
V_f^{4}=(3V_i)^{4}=3^{4}V_i^{4}=81V_i^{4},
portanto
V_f^{4}-V_i^{4}=(81-1)V_i^{4}=80V_i^{4}.
Logo
W=\frac{k}{4}\cdot 80 V_i^{4}=20\,k\,V_i^{4}.

Passo 5

Calcular numericamente V_i^{4} e o trabalho.
Primeiro
V_i^{4}=(2,58)^4=44,32056096\\ \mathrm{m}^{12}.
Então
W=20\cdot 4,17\cdot 44,32056096\\ \mathrm{J}.
Calcule passo a passo:
20\cdot 4,17=83,4,
W=83,4\cdot 44,32056096=3696,334784064\\ \mathrm{J}.
Arredondando com consistência (3 algarismos significativos vindos dos dados), fica apropriado
W\approx 3696,33\\ \mathrm{J}\approx 3,70\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: como p\propto V^{3}, quando V triplica a pressão multiplica por 3^{3}=27. De fato p_f/p_i=1934,13/71,634\approx 27. O trabalho tem dimensão de energia (Pa·m^3 = J), como obtido.

Resposta

Pressão final: 1934,13\\ \mathrm{Pa}
Trabalho realizado: 3696,33\\ \mathrm{J}

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