Considere a função 
  e intervalo inicial [ 0,1
 . Refine a raiz utilizando o método da bisseção e utilizando o método da posição falsa. Preencha a tabela a seguir (apenas com os resultados obtidos na última iteração):
| Método da bisseção | Método da posição falsa | |
|---|---|---|
| Intervalo inicial | ||
| Intervalo final | ||
| Raiz aproximada | ||
| Módulo da imagem da raiz aproximada | ||
| Módulo da diferença do extremos do intervalo | ||
| № de iterações | 
Tabela 1: Comparação entre métodos numéricos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma raiz da função 
  no intervalo inicial 
  usando dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método da posição falsa. A gente vai refinar essa raiz com uma precisão de 
 . Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método da bisseção. Esse método é bem intuitivo: a gente começa com um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, 
  e 
  têm sinais opostos), o que garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. A cada passo, dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde a função ainda muda de sinal. Repetimos esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor que 
 .
Vamos aplicar isso à nossa função 
  com intervalo inicial 
 :
- Intervalo Inicial: 
 - Cálculo de 
e :  - 
 - Como 
e têm sinais opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.  
Passo 3
Agora, vamos começar as iterações do método da bisseção:
- 
Iteração 1:
- 
 - 
 - Como 
é positivo e é negativo, a raiz está em  
 - 
 - 
Iteração 2:
- 
 - 
 - Como 
é negativo e é positivo, a raiz está em  
 - 
 - 
Iteração 3:
- 
 - 
 - A raiz está em 
 
 - 
 - 
Iteração 4:
- 
 - 
 - A raiz está em 
 
 - 
 - 
Iteração 5:
- 
 - 
 - A raiz está em 
 
 - 
 
Agora, o tamanho do intervalo é 
 , que é menor que 
 ? Não, ainda precisamos de mais uma iteração.
- Iteração 6:
- 
 - 
 - A raiz está em 
 
 - 
 
Agora, o tamanho do intervalo é 
 , que ainda não é menor que 
 .
- Iteração 7:
- 
 - 
 - A raiz está em 
 
 - 
 
Agora, o tamanho do intervalo é 
 , que é menor que 
 . Então, paramos aqui.
Passo 4
Agora, vamos entender o método da posição falsa. Esse método também busca uma raiz em um intervalo onde a função muda de sinal, mas ao invés de simplesmente dividir o intervalo ao meio, ele usa uma linha reta para estimar a posição da raiz. A ideia é melhorar a convergência em relação ao método da bisseção.
Vamos aplicar esse método à nossa função 
  com intervalo inicial 
 :
- Intervalo Inicial: 
 - Cálculo de 
e :  - 
 - Como 
e têm sinais opostos, continuamos.  
Passo 5
Vamos começar as iterações do método da posição falsa:
- 
Iteração 1:
- Calculamos 
usando a fórmula: Substituindo:  - 
 - Como 
é negativo e é positivo, a raiz está em  
 - Calculamos 
 - 
Iteração 2:
- Calculamos 
novamente:  - 
 - Como 
é negativo e é positivo, a raiz está em  
 - Calculamos 
 - 
Iteração 3:
- Calculamos 
:  - 
 - Como 
é quase zero, já alcançamos a precisão desejada.  
 - Calculamos 
 
Resposta
| Método da bisseção | Método da posição falsa | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Intervalo inicial | [0, 1] | [0, 1] | ||||
| Intervalo final | [0.4453125, 0.453125] | [0.446, 0.450] | ||||
| Raiz aproximada | 0.4453125 | 0.450 | ||||
| Módulo da imagem da raiz aproximada | ( | f(0.4453125) | \approx 0.012175) | ( | f(0.450) | \approx 0.0004) | 
| Módulo da diferença do extremos do intervalo | 
 | 
 | 
||||
| № de iterações | 7 | 3 |