Considere a função dada por f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}1-x & \text { se } & x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}-2 x^{2}+x}{x-1} & \text { se } & x>1\end{array}\right.. Calcule:
(a) f(1)
(b) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A função é dada por
f(x)=\begin{cases} 1-x & \text{se } x\le 1,\\[4pt] \dfrac{x^{3}-2x^{2}+x}{x-1} & \text{se } x>1. \end{cases}
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) calcular f(1);
    (b) calcular \lim_{x\to1} f(x);
    (c) calcular \lim_{x\to+\infty} f(x).]

Passo 2

Primeiro, avaliar f(1). A definição é por partes e indica qual ramo usar conforme a posição de x relativo a 1. Como 1 satisfaz x\le 1, deve-se usar o ramo f(x)=1-x para calcular f(1). Então aplico a regra diretamente em x=1.

Passo 3

Calculo de f(1):
f(1)=1-1=0.
Comentário rápido: isso é só substituição direta no ramo apropriado. Já temos a resposta para a parte (a).

Passo 4

Agora vamos calcular \lim_{x\to1} f(x). Para limites em um ponto numa função por partes, verificamos os limites laterais (pela esquerda e pela direita) e comparamos.
  • Limite pela esquerda ( x\to1^-): quando x<1 usamos f(x)=1-x. O limite é simples porque 1-x é contínua:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (1-x)=1-1=0.

Passo 5

  • Limite pela direita ( x\to1^+): quando x>1 usamos
f(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+x}{x-1}.
Antes de tentar substituir x=1 (o que daria divisão por zero), fatoramos o polinômio do numerador para simplificar. Faço a fatoração:
x^{3}-2x^{2}+x = x(x^{2}-2x+1)=x(x-1)^{2}.
Portanto, para x\neq1 podemos simplificar a fração:
\frac{x^{3}-2x^{2}+x}{x-1}=\frac{x(x-1)^{2}}{x-1}=x(x-1)=x^{2}-x.
Agora que o termo singular foi cancelado (é uma descontinuidade removível do ponto de vista da expressão algébrica), calculo o limite pela direita substituindo x\to1 na expressão simplificada:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x^{2}-x)=1^{2}-1=0.

Passo 6

Como os limites laterais coincidem:
\lim_{x\to1^-} f(x)=0=\lim_{x\to1^+} f(x),
conclui-se que o limite bilateral existe e é
\lim_{x\to1} f(x)=0.
Observação amigável: aqui a função é contínua em x=1 porque f(1)=0 também coincide com o limite.

Passo 7

Por fim, calculo \lim_{x\to+\infty} f(x). Para x muito grande e positivo temos x>1, então usamos a forma simplificada que encontramos para x>1:
f(x)=x^{2}-x.
Para limites quando x\to+\infty de polinômios, domina o termo de maior grau. O termo dominante é x^{2} (que cresce como o quadrado de x), portanto
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} (x^{2}-x)=+\infty.
Em palavras: f(x) cresce sem limite quando x cresce muito; diverge para o infinito positivo.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) +\infty

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