O enunciado pede três coisas:
(a) calcular f(1);
(b) calcular \lim_{x\to1} f(x);
(c) calcular \lim_{x\to+\infty} f(x).]
Passo 2
Primeiro, avaliar f(1). A definição é por partes e indica qual ramo usar conforme a posição de x relativo a 1. Como 1 satisfaz x\le 1, deve-se usar o ramo f(x)=1-x para calcular f(1). Então aplico a regra diretamente em x=1.
Passo 3
Calculo de f(1):
f(1)=1-1=0.
Comentário rápido: isso é só substituição direta no ramo apropriado. Já temos a resposta para a parte (a).
Passo 4
Agora vamos calcular \lim_{x\to1} f(x). Para limites em um ponto numa função por partes, verificamos os limites laterais (pela esquerda e pela direita) e comparamos.
Limite pela esquerda (x\to1^-): quando x<1 usamos f(x)=1-x. O limite é simples porque 1-x é contínua:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (1-x)=1-1=0.
Passo 5
Limite pela direita (x\to1^+): quando x>1 usamos
f(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+x}{x-1}.
Antes de tentar substituir x=1 (o que daria divisão por zero), fatoramos o polinômio do numerador para simplificar. Faço a fatoração:
x^{3}-2x^{2}+x = x(x^{2}-2x+1)=x(x-1)^{2}.
Portanto, para x\neq1 podemos simplificar a fração:
Agora que o termo singular foi cancelado (é uma descontinuidade removível do ponto de vista da expressão algébrica), calculo o limite pela direita substituindo x\to1 na expressão simplificada: